حل مسألة الأعداد المتتالية (مسألة رياضيات)

مطلوب حساب مجموع العددين المتتاليين $a$ و $b$، حيث تقع قيمة $\log_{10}{17}$ بينهما.

لنقم بتحديد العددين المتتاليين. لنفترض أن $a$ هو العدد الأصغر، وبالتالي $a+1$ هو العدد الأكبر. نحتاج إلى معرفة العدد الذي يكون له قيمة $\log_{10}{17}$.

قيمة $\log_{10}{17}$ تقع بين قيمتي $\log_{10}{16}$ و $\log_{10}{18}$ لأنها تقع بين $16$ و $18$.

لحساب ذلك، نستخدم خاصية اللوغاريتمات التي تقول إنه إذا كان $\log_{10}{x} = n$ فإن $x = 10^n$.

إذاً، نقارن $17$ مع $16$ و $18$:

• $10^1 = 10$, $10^2 = 100$، لذا $\log_{10}{16}$ يكون بين $1$ و $2$.
• $10^1 = 10$, $10^2 = 100$، لذا $\log_{10}{18}$ يكون بين $1$ و $2$.

إذن $\log_{10}{17}$ يكون بين $1$ و $2$.

وبما أن القيمة تقع بين الأرقام الصحيحة $1$ و $2$، فإنها تكون أقرب إلى $2$. إذاً، $a$ يساوي $10^1 = 10$ و $b$ يساوي $10^2 = 100$.

الآن نحسب المجموع:
$a + b = 10 + 100 = 110$.

إذاً، المجموع الذي تبحث عنه هو $110$.

لحل المسألة المطروحة، سنقوم بتطبيق القوانين التالية:

1. قانون اللوغاريتمات: هذا القانون ينص على أنه إذا كان $\log_{a}{x} = y$، فإنه يعني أن $x = a^y$. في هذه المسألة، نستخدم اللوغاريتم العشري والذي يعني أن قيمة $\log_{10}{x}$ تعني أن $x = 10^{\log_{10}{x}}$.

2. العددان المتتاليان: هذا المفهوم يعني أن لدينا عددين متتاليين، أي أنهما يليان بعضهما البعض. لذلك، إذا كان أحدهما $a$، فالعدد التالي له هو $a + 1$.

بدأنا بتحديد المجال الذي تقع فيه قيمة $\log_{10}{17}$. للقيام بذلك، قارنا قيمة $\log_{10}{17}$ مع $\log_{10}{16}$ و $\log_{10}{18}$. حيث أن $\log_{10}{16}$ أقرب إلى $1$ و $\log_{10}{18}$ أقرب إلى $2$. بناءً على ذلك، فإن $\log_{10}{17}$ سيكون أقرب إلى $2$ من $1$.

ثم استخدمنا قانون اللوغاريتمات لتحديد القيم العددية التي تنتمي للأرقام $\log_{10}{16}$ و $\log_{10}{18}$، والتي هي على التوالي $10^1 = 10$ و $10^2 = 100$.

أخيرًا، قمنا بجمع العددين المتتاليين $a$ و $b$، الذين تقع قيمة $\log_{10}{17}$ بينهما، والذين هما $10$ و $100$ على التوالي، للحصول على المجموع النهائي الذي يساوي $110$.

بهذا الشكل، استخدمنا المفاهيم الرياضية المعروفة وقوانين اللوغاريتمات لحل المسألة المعطاة بطريقة دقيقة ووافية.