حل مسألة الأعداد الإيجابية: مجموع المربعات والضرب. (مسألة رياضيات)

مجموع مربعين لعددين صحيحين موجبين يساوي 90، وضربهما يساوي 27. ما هو مجموع العددين؟

لنقم بتعريف العددين بشكل متغيرات: فلنقل أن العدد الأول يُمثَّل بـ $x$ والعدد الثاني بـ $y$.

الشروط التي يجب أن تتحقق هي:

1. $x^2 + y^2 = 90$
2. $xy = 27$

نريد العثور على قيم $x$ و $y$ التي تلبي هذه الشروط.

من المعادلة الثانية، يمكننا أن نعبر عن $y$ بالنسبة لـ $x$ بالقسمة على كلتا الجانبين للمعادلة:

$y = \frac{27}{x}$

الآن، سنقوم بتعويض $y$ في المعادلة الأولى:

$x^2 + \left(\frac{27}{x}\right)^2 = 90$

سنقوم بتوسيع المعادلة وتحويلها إلى معادلة من الدرجة الثانية في $x$:

$x^2 + \frac{729}{x^2} = 90$

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتجميع المصطلحات المماثلة:

$x^4 – 90x^2 + 729 = 0$

الآن، لدينا معادلة من الدرجة الرابعة. سنقوم بتحليلها بشكل عام للعثور على الجذور. سنستخدم الرموز لتبسيط الكتابة:

فلنفرض $z = x^2$، لتكون المعادلة بالشكل التالي:

$z^2 – 90z + 729 = 0$

الآن، سنقوم بحل المعادلة من الدرجة الثانية $z$ باستخدام الصيغة العامة:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -90$، و $c = 729$.

$z = \frac{90 \pm \sqrt{(-90)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 729}}{2 \cdot 1}$
$z = \frac{90 \pm \sqrt{8100 – 2916}}{2}$
$z = \frac{90 \pm \sqrt{5184}}{2}$
$z = \frac{90 \pm 72}{2}$

الآن، لدينا حلين ممكنين:

1. $z_1 = \frac{90 + 72}{2} = 81$
2. $z_2 = \frac{90 – 72}{2} = 9$

الآن، سنقوم بحساب قيم $x$ باستخدام $z$:

1. عندما $z = 81$، فإن $x^2 = 81$، يعني $x = \sqrt{81} = 9$، وبالتالي $y = \frac{27}{9} = 3$
2. عندما $z = 9$، فإن $x^2 = 9$، يعني $x = \sqrt{9} = 3$، وبالتالي $y = \frac{27}{3} = 9$

إذاً، لدينا زوجين من الأعداد: $(9,3)$ و $(3,9)$.

بالتالي، مجموع العددين هو $9 + 3 = 12$.

لحل المسألة المذكورة، سنستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية. هذه الخطوات تشمل:

1. تعريف المتغيرات: نبدأ بتعريف المتغيرات للتمثيل الرياضي للمسألة. في هذه المسألة، نحتاج إلى متغيرين لتمثيل العددين الإيجابيين. لنفترض أن العدد الأول يُمثَّل بـ $x$ والعدد الثاني بـ $y$.

2. وضع المعادلات الرياضية: استنادًا إلى الشروط المعطاة في المسألة، يتوجب علينا وضع المعادلات الرياضية المناسبة. في هذه المسألة، هناك معادلتين. الأولى تتعلق بمجموع مربعي العددين، والثانية تتعلق بضرب العددين.

3. حل المعادلات: بعد وضع المعادلات، نستخدم القوانين الرياضية وتقنيات الحل المناسبة لحساب القيم المناسبة للمتغيرات.

4. التحقق من الحل: يتم في هذه الخطوة التحقق من القيم التي تم العثور عليها للتأكد من أنها تلبي جميع الشروط المطلوبة في المسألة.

قوانين الرياضيات المستخدمة في هذا الحل تشمل:

• قانون الجذور: لحساب الجذور التربيعية للأعداد.
• قانون الجمع والطرح: لإجراء العمليات الحسابية الأساسية مثل الجمع والطرح.
• قانون الضرب والقسمة: لإجراء العمليات الحسابية الأساسية مثل الضرب والقسمة.
• قانون تحويل المعادلات: لتحويل المعادلات الرياضية إلى أشكال تسهل عملية الحل.
• قانون الحساب المتغايري: لتعويض قيم متغيرات في المعادلات لإيجاد القيم المطلوبة.

تمثل هذه القوانين الأساسية للرياضيات الأدوات الأساسية التي نحتاجها لحل مسائل مثل الذي ذكرته. من خلال تطبيق هذه القوانين بشكل دقيق ومنهجي، يمكننا العثور على الحلول لمجموعة متنوعة من المسائل الرياضية.