حل مسألة الأعداد الأولية والمتباعدة (مسألة رياضيات)

ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تتجاوز كل واحدة منها القيمة $1$، وحاصل ضربها يساوي $27000$، وهذه الأعداد متباعدة بين بعضها البعض. ما مجموعها؟

الحل:
لنقوم بتحليل حاصل الضرب $27000$ إلى عوامل أولية لمعرفة الأعداد الصحيحة التي تمثله. يمكن تمثيل $27000$ على النحو التالي:

$27000 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3$

نريد الآن تقسيم هذه العوامل الأولية بين الأعداد الثلاثة بحيث تكون جميعها متباعدة بعضها البعض.

للقسمة بشكل متساوي، دعونا نحاول توزيع الأسس على الأعداد الثلاثة بأقصى قدر ممكن:

$2^3$ يجب أن يذهب مع أحد الأعداد
$3^3$ يجب أن يذهب مع واحد من الأعداد الأخرى
$5^3$ يجب أن يذهب مع العدد الثالث

نأخذ بالاعتبار أن الأعداد متباعدة بعضها البعض، فإنه من المفترض أن يكون كل عدد أولي مشترك في الأعداد الثلاثة هو $1$.

بالتالي، يمكن توزيع الأسس كالتالي:
العدد الأول: $2^3 = 8$
العدد الثاني: $3^3 = 27$
العدد الثالث: $5^3 = 125$

الآن نحسب مجموع الأعداد:
$8 + 27 + 125 = 160$

إذاً، مجموع الأعداد الثلاثة هو $160$.

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم الأعداد الأولية والمتباعدة بين الأعداد، وسنعتمد على قوانين عدة منها قوانين تحليل الأعداد الأولية والعوامل الأولية للأعداد.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. تحليل الأعداد الأولية: يتمثل في تحليل العدد المعطى إلى عوامله الأولية. هذا يعني تقسيم العدد إلى عوامل أولية لمعرفة كيف يتألف.

2. عوامل الأعداد الأولية: الأعداد الأولية هي الأعداد التي لا يمكن تقسيمها بدون بقايا إلى أعداد أصغر منها سوى الواحد ونفسها. في هذه المسألة، نستخدم الأعداد الأولية لتقسيم العدد المعطى.

3. متباعدة الأعداد: الأعداد المتباعدة هي الأعداد التي ليس لها عوامل مشتركة سوى الواحد. في هذه المسألة، نحتاج إلى أعداد متباعدة بين بعضها البعض.

4. مجموع الأعداد: بما أننا نبحث عن مجموع الأعداد، فنحتاج إلى جمع الأعداد المتباعدة التي تمثل عوامل العدد المعطى.

الآن، لحل المسألة:

1. نقوم بتحليل العدد المعطى، وهو $27000$، إلى عوامله الأولية. يكون التحليل كالتالي:
   $27000 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3$

2. بما أن الأعداد يجب أن تكون متباعدة بين بعضها، نبحث عن ثلاثة عوامل أولية مختلفة.

3. نقوم بتوزيع العوامل الأولية بين الأعداد الثلاثة. في هذه المسألة، نريد أكبر قيمة ممكنة لكل عدد.

   • $2^3$ يمكن أن يذهب مع أحد الأعداد.
   • $3^3$ يمكن أن يذهب مع العدد الآخر.
   • $5^3$ يمكن أن يذهب مع العدد الثالث.

4. نقوم بحساب مجموع الأعداد الثلاثة:

   • العدد الأول: $2^3 = 8$
   • العدد الثاني: $3^3 = 27$
   • العدد الثالث: $5^3 = 125$

   مجموع الأعداد هو: $8 + 27 + 125 = 160$

إذاً، مجموع الأعداد الثلاثة هو $160$.

هذا الحل يعتمد على استخدام قوانين تحليل الأعداد الأولية وتوزيع العوامل بين الأعداد بطريقة تضمن الحصول على أعداد متباعدة بين بعضها البعض وبالتالي الحصول على المجموع الصحيح.