حل مسألة الأس والأسس: تطبيقات وقوانين (مسألة رياضيات)

إذا كان $64^5 = 32^x$، فما هو قيمة $2^{-x}$ ككسر عادي؟

من المعروف أن $64 = 2^6$ و $32 = 2^5$، لذا يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:

$(2^6)^5 = (2^5)^x$

نستخدم خاصية قوانين الأسس لضرب الأسس للحصول على:

$2^{6 \times 5} = 2^{5 \times x}$

هنا نلاحظ أن الأسس متساوية، لذا يمكننا مطابقة الأسس وحل المعادلة:

$2^{30} = 2^{5x}$

الآن، نلاحظ أن الأسس متساوية، لذا يجب أن يكون الأس الأيمن مساويًا للأس الأيسر، لذا:

$30 = 5x$

نقوم بقسمة الطرفين على 5:

$x = \frac{30}{5} = 6$

وبالتالي، قيمة $2^{-x}$ تكون:

$2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$

إذاً، قيمة $2^{-x}$ ككسر عادي هي $\frac{1}{64}$.

بالطبع، سنقوم بتفصيل الحل للمسألة وذكر القوانين التي تم استخدامها.

المعادلة الأسية التي نحتاج إلى حلها هي: $64^5 = 32^x$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الأسس وخصائص الأسس، وهي كما يلي:

1. قاعدة الأس العامة: إذا كانت $a^n = a^m$، حيث $a \neq 0$، فإنه يجب أن تكون الأسس متساوية، لذا $n = m$.
2. ضرب أسس نفس الأساس: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
3. تقسيم أس بأس متساوٍ: إذا كانت $a^n \div a^m$، حيث $a \neq 0$، فإنه يمكن إلغاء الأسس وتقسيم الأساسات، لذا $a^{n-m}$.
4. قانون الأس المعكوس: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

الآن، لنقوم بحل المعادلة خطوة بخطوة:

1. نعرف أن $64 = 2^6$ و $32 = 2^5$.
2. نستخدم هذه القيم في المعادلة للحصول على: $(2^6)^5 = (2^5)^x$.
3. نطبق قاعدة الأس العامة للحصول على: $2^{6 \times 5} = 2^{5 \times x}$.
4. نستخدم قانون ضرب أسس نفس الأساس للحصول على: $2^{30} = 2^{5x}$.
5. نلاحظ أن الأسس متساوية، لذا يجب أن تكون القوى متساوية، لذا: $30 = 5x$.
6. نقسم الطرفين على 5 للحصول على قيمة $x$، وتكون $x = \frac{30}{5} = 6$.

وبالتالي، قيمة $x$ هي 6.

آخيرًا، نستخدم قانون الأس المعكوس للحصول على قيمة $2^{-x}$، حيث $x = 6$:
$2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$.

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $2^{-x}$ ككسر عادي هي $\frac{1}{64}$.