حل مسألة الأرقام: متوسط ووسيط (مسألة رياضيات)

مجموعة من ثلاثة أرقام لديها كل من المتوسط والوسيط يساويان 4. إذا كانت أصغر عدد في المجموعة هو 1، فما هو نطاق تلك المجموعة من الأرقام؟

لنحل هذه المسألة، دعونا نمثل الأرقام في المجموعة بـ a، b، و c. حيث أن a هو العدد الأصغر (1)، ونريد حساب النطاق الذي يعني فارق القيمة بين العدد الأكبر والأصغر في المجموعة.

نعلم أن متوسط المجموعة هو 4. والمتوسط يتم حسابه عبر جمع جميع القيم وتقسيمها على عددها. لذا، نحصل على المعادلة التالية:

$\frac{(a + b + c)}{3} = 4$

نضرب الطرفين في المعادلة في 3 لنتخلص من المقام في الطرف الأيسر:

$a + b + c = 12$

الآن، لدينا معادلة أخرى بخصوص الوسيط. الوسيط هو العدد الذي يقسم المجموعة إلى قسمين متساويين. في هذه الحالة، يكون الوسيط هو العدد الوسطي بين a، b، و c، والذي هو b.

لذا، لدينا معادلة أخرى:

$b = 4$

الآن، نحن بحاجة إلى حساب قيمة c. لنقوم بذلك، نستخدم المعادلة الأولى التي حصلنا عليها:

$a + b + c = 12$

نعوض فيها قيمة b (التي هي 4):

$a + 4 + c = 12$

إذاً، يمكننا حساب قيمة c:

$a + c = 8$

ونعلم أن a هو 1، لذا:

$1 + c = 8$

$c = 7$

الآن، لدينا الأرقام الثلاثة في المجموعة: 1، 4، و 7.

نطرح العدد الأصغر من الأكبر للحصول على النطاق:

$7 – 1 = 6$

إذاً، النطاق هو 6.

لحل هذه المسألة، بدأنا بتعريف الأرقام في المجموعة بـ a، b، و c، حيث a هو أصغر عدد في المجموعة (1)، واستخدمنا الحروف الأخرى لتمثيل الأعداد الأخرى. قمنا بتشكيل معادلة لحساب المتوسط باستخدام معرفة أن المتوسط يتم حسابه عبر جمع القيم وتقسيمها على عددها.

$\frac{(a + b + c)}{3} = 4$

ثم قمنا بضرب الطرفين في 3 للتخلص من المقام في الطرف الأيسر:

$a + b + c = 12$

ثم حسبنا الوسيط باعتباره العدد الوسطي في المجموعة، الذي في هذه الحالة كان يمثله العدد b:

$b = 4$

ثم قمنا بتعويض قيمة b في المعادلة الأولى لحساب قيمة c:

$a + 4 + c = 12$

وتم حساب قيمة c:

$a + c = 8$

حيث كانت قيمة a هي 1، لذا:

$1 + c = 8$

$c = 7$

وبعد ذلك، جمعنا المعلومات للحصول على الأرقام الثلاثة في المجموعة: 1، 4، و 7. وأخذنا العدد الأكبر وطرحنا منه العدد الأصغر للحصول على النطاق:

$7 – 1 = 6$

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون حساب المتوسط: $\frac{(a + b + c)}{3} = \text{المتوسط}$
2. قانون الوسيط: الوسيط في مجموعة مرتبة هو العدد الذي يقسم المجموعة إلى قسمين متساويين.
3. قانون النطاق: النطاق يعبر عن فارق القيم بين أكبر وأصغر عدد في المجموعة.