لنقم بإعادة صياغة المعطيات الرياضية كما هو مطلوب:
لنفترض أن $A$، $B$، و$C$ هي أرقام غير صفرية مختلفة وأقل من $6$. ولنفترض لدينا المعادلات التالية:
الآن سنبدأ في حل المسألة.
لدينا $AB_6 + C_6 = C0_6$. هذا يعني أن عدد الوحدات في $AB_6$ مضافة إلى $C_6$ يعطي العدد $C0_6$. هذا يشير إلى أن $B + 6 = 10$ لأننا نقوم بعملية الإعتماد. لذلك $B = 4$ وبالتالي $A = 1$ لأنه لا يمكن للأعداد أن تكون متساوية.
الآن لدينا $AB_6 + BA_6 = CC_6$. نستطيع أن نستبدل قيم $A$ و$B$ بالقيم التي حددناها: $A=1$ و$B=4$. لذلك:
الجمع في النظام السداسي:
لذا يجب أن يكون $C = 5$.
لذا العدد الثلاثي ${ABC}$ هو $145$.
المزيد من المعلومات
لنقم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وذكر القوانين المستخدمة في الحل.
أولاً، لنستعرض المعادلات المعطاة:
- $AB_6 + C_6 = C0_6$
- $AB_6 + BA_6 = CC_6$
نبدأ بالمعادلة الأولى: $AB_6 + C_6 = C0_6$. هذه المعادلة تشير إلى أنه عند جمع $AB_6$ و$C_6$ في النظام السداسي، نحصل على عدد ينتهي بصفر. من الطبيعي أن يكون $C < 6$، لأن أعلى قيمة في النظام السداسي هي 5. لذا يمكن ل$C$ أن تأخذ القيم 1، 2، 3، 4، أو 5. ولكن نظرًا لأننا نبحث عن حل مختلف لكل من $A$ و $B$ و $C$، فلا يمكن أن يكون $C = 0$.
نعتبر الآن المعادلة الثانية: $AB_6 + BA_6 = CC_6$. هنا، عند جمع $AB_6$ و $BA_6$، نحصل على عدد يبدأ بـ $C$ في النظام السداسي. يجب أن يكون الناتج عدداً مكوناً من رقمين. ولاحظ أن أعلى قيمة في النظام السداسي هي 5، لذا $C$ لا يمكن أن يكون أكبر من 5.
بمراجعة الحالات الممكنة لـ $C$، نجد أن $C$ لا يمكن أن يكون 1 أو 2 أو 3، لأن الناتج $CC_6$ سيتجاوز القيمة القصوى المسموح بها في النظام السداسي، وهي 55.
الحالة الوحيدة المتبقية هي $C = 5$.
الآن، بعد تحديد $C = 5$، يمكننا استخدام المعادلة الأولى لتحديد $A$ و $B$. لأننا نبحث عن أرقام مختلفة لكل رقم، ولا يمكن للرقم أن يكون 0، فإن $B$ يجب أن يكون 4، وبالتالي $A$ يجب أن يكون 1.
بذلك، العدد الثلاثي ${ABC}$ هو $145$.
القوانين المستخدمة هي:
- قواعد الجمع في النظام السداسي.
- الحدود العليا للأرقام في النظام السداسي (أقل من 6).
- استبعاد الأرقام المتكررة (يجب أن تكون $A$ و $B$ و $C$ مختلفة).
- استبعاد الصفر كرقم ممكن لـ $C$.
- استنتاج القيم الممكنة استنادًا إلى المعادلات المعطاة وحدود النظام السداسي.