حل مسألة: استخدام مبرهنة فيثاغورث (مسألة رياضيات)

إذا كان $C$ نقطة ليست على الخط $AE$ و $D$ نقطة على الخط $AE$ بحيث $CD \perp AE$. وفي الوقت نفسه، $B$ نقطة على الخط $CE$ بحيث $AB \perp CE$. إذا كانت $AB = X$، $CD = 8$، و $AE = 5$، فما هو طول الخط $CE$؟

نعرف أن في المثلث $ABE$، يكون $\angle ABE = 90^\circ$ و $\angle AEB = 90^\circ$، لذلك $\angle BAE = 180^\circ – 90^\circ – 90^\circ = 0^\circ$. هذا يعني أن $AE$ هو خط مستقيم وبالتالي $AE = AB = X$.

الآن، لنجد طول $CE$. نستخدم مثلث $CDE$ حيث $CD \perp AE$ و $CE \perp AD$.

من المثلث $CDE$، نستخدم مبرهنة فيثاغورس للحصول على طول $CE$:

$CE^2 = CD^2 + DE^2$

ولكن $DE = AE – AD = 5 – X$.

ونعلم أن $CD = 8$، لذلك:

$CE^2 = 8^2 + (5 – X)^2$

$CE^2 = 64 + (25 – 10X + X^2)$

$CE^2 = 64 + 25 – 10X + X^2$

$CE^2 = 89 – 10X + X^2$

ومن المعطيات نعرف أن $AE = 5$، لذلك $X = 5$.

وإذا كانت الإجابة عن السؤال الأول 10، فإننا نستخدم القيمة المعروفة لـ $X$ لحساب طول $CE$:

$CE^2 = 89 – 10(5) + 5^2$

$CE^2 = 89 – 50 + 25$

$CE^2 = 39 + 25$

$CE^2 = 64$

وبما أن $CE$ طول موجب، فإننا نأخذ القيمة الموجبة للجذر التربيعي:

$CE = \sqrt{64} = 8$

لذا، طول $CE$ يساوي 8.

لحل المسألة المعطاة، دعنا نبدأ بتحليل الوضع:

1. يتمثل المثلث الأول في المثلث $ABE$ حيث $AB \perp CE$ و $AE \perp BE$. ومن المعطيات نعلم أن $\angle BAE = 0^\circ$، لذا $AE$ هو خط مستقيم وبالتالي $AE = AB = X$.

2. المثلث الثاني هو المثلث $CDE$ حيث $CD \perp AE$ و $CE \perp AD$. في هذا المثلث، نستخدم مبرهنة فيثاغورث لحساب طول الضلع $CE$.

3. مبرهنة فيثاغورث تقول: في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين.

الآن، نطبق هذه القوانين على المعطيات المعطاة:

أولاً، نستخدم مثلث $CDE$:

• بمبرهنة فيثاغورث، نكتب:
  $CE^2 = CD^2 + DE^2$

• حيث $DE = AE – AD = 5 – X$.

• بالتالي:
  $CE^2 = 8^2 + (5 – X)^2$

• نستمر في تبسيط العبارة للحصول على تعبير لـ $CE$ فيما يتعلق بـ $X$.

ثانياً، نستخدم المعلومة التي نعرفها بالفعل: $AE = X$.

ثالثاً، نستخدم المعطيات المعطاة التي تقول إن الإجابة النهائية لطول $CE$ هي 10.

بمعرفة أن الإجابة النهائية هي 10، يمكننا استخدام القيمة المعروفة لـ $X$ لحساب طول $CE$. نستبدل $X$ بقيمته المعروفة ونقوم بحساب الجذر التربيعي للحصول على القيمة النهائية لـ $CE$.

بهذه الطريقة، نحصل على الإجابة النهائية لطول $CE$.

يتمثل الحل بشكل أساسي في استخدام المبرهنة الثابتة لفيثاغورث والتعبير عن المتغيرات المعروفة وغير المعروفة في العلاقات الرياضية المناسبة.