حل مسألة: إيجاد نقطة التقاطع الخطي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي إيجاد قيمة $x$ عند نقطة التقاطع بين الخطين $y = 4x – 19$ و $2x + y = 95$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بإستخدام طريقة إستبعاد الغير. يعني هذا أننا سنقوم بحل معادلتين متماثلتين لإيجاد قيمة $x$ ومن ثم سنستخدم هذه القيمة لحساب قيمة $y$ المقابلة.

لنبدأ بحل المعادلتين:

1. $y = 4x – 19$
2. $2x + y = 95$

سنقوم بوضع قيمة $y$ من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية ونقوم بحلها للعثور على قيمة $x$.

بدايةً، نستبدل $y$ في المعادلة الثانية بـ $4x – 19$ لنحصل على:
$2x + (4x – 19) = 95$

الآن سنقوم بحساب القيمة:
$2x + 4x – 19 = 95$
$6x – 19 = 95$

نضيف 19 على الجانبين:
$6x = 95 + 19$
$6x = 114$

ثم نقسم كلا الجانبين على 6:
$x = \frac{114}{6}$
$x = 19$

الآن بعد حساب قيمة $x$، سنقوم بوضعها في أي معادلة من المعادلتين الأصليتين لحساب قيمة $y$. سنستخدم المعادلة الأولى لأنها أسهل:

$y = 4(19) – 19$
$y = 76 – 19$
$y = 57$

إذاً، قيمة $x$ عند نقطة التقاطع بين الخطين هي 19، وقيمة $y$ المقابلة لها هي 57.

لحل مسألة إيجاد قيمة $x$ عند نقطة التقاطع بين الخطين $y = 4x – 19$ و $2x + y = 95$، سنقوم باستخدام طريقة حل النظامين من المعادلات الخطية. في هذا النوع من المسائل، نطبق مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية للعثور على القيم المطلوبة.

الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. تمثيل الخطوط بمعادلاتها: نعرف أن المعادلة العامة للخط هي $y = mx + c$ حيث $m$ هو الميل و $c$ هو القطع مع محور $y$. بناءً على المعادلتين المعطاة، لدينا:

   • $y = 4x – 19$
   • $2x + y = 95$ يمكن تحويلها إلى المعادلة القياسية $y = mx + c$ بطرح $2x$ من الجانبين: $y = -2x + 95$.

2. إيجاد نقطة التقاطع: للعثور على نقطة التقاطع، نقوم بحل النظام من المعادلات الخطية. نضع المعادلتين في صورتها القياسية ونحل لقيمة $x$.

3. استبدال وحل: نستخدم القيمة $x$ التي حصلنا عليها لاستبدالها في أي معادلة من المعادلات الأصلية لحساب قيمة $y$ المقابلة.

الآن سنقوم بتفصيل الحل:

1. تمثيل الخطوط بمعادلاتها:

   • خط $y = 4x – 19$
   • خط $y = -2x + 95$

2. إيجاد نقطة التقاطع:
   نقوم بحل النظام:

   $$\begin{cases} y = 4x – 19 \\ y = -2x + 95 \end{cases}$$

   نجمع المعادلتين للحصول على قيمة $x$:

   $$4x – 19 = -2x + 95$$

   نضيف $2x$ إلى الجانبين:

   $$6x – 19 = 95$$

   نضيف 19 إلى الجانبين:

   $$6x = 95 + 19 = 114$$

   نقسم كل جانب على 6:

   $$x = \frac{114}{6} = 19$$

3. استبدال وحل:
   نستخدم قيمة $x = 19$ في أي معادلة. سنستخدم المعادلة الأولى لأنها أسهل:

   $$y = 4(19) – 19 = 76 – 19 = 57$$

لذا، قيمة $x$ عند نقطة التقاطع بين الخطين هي 19، وقيمة $y$ المقابلة لها هي 57.