حل مسألة: إكمال المربعات في المعادلات quadratics (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية التي لديها لولو هي $x^2 + bx + 44$، حيث يمثل $b$ عددًا محددًا إيجابيًا. عند إكمال المربعات، تستطيع لولو إعادة كتابة المعادلة في الشكل $(x + m)^2 + 8$. ما قيمة $b$؟

لنبدأ بإكمال المربعات للمعادلة $x^2 + bx + 44$:

نقوم بإضافة مربع يكمل الكسرة $x^2 + bx$ عندما يكون العامل المربعي لـ $x$ هو $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

من ثم، يجب علينا ضمان أن نضيف ونطرح نفس القيمة داخل المعادلة للحفاظ على القيمة الأصلية. لذلك، نضيف ونطرح $\frac{b^2}{4}$:

$(x^2 + bx + \frac{b^2}{4}) – \frac{b^2}{4} + 44$

$(x + \frac{b}{2})^2 – \frac{b^2}{4} + 44$

لكن الآن، يجب أن نضيف 8 للمعادلة لتكتمل العملية. لذلك، نقوم بإضافة 8:

$(x + \frac{b}{2})^2 – \frac{b^2}{4} + 44 + 8$

$(x + \frac{b}{2})^2 – \frac{b^2}{4} + 52$

المعادلة المعطاة في السؤال بعد إكمال المربعات هي $(x + m)^2 + 8$، لذا يجب أن تتطابق مع المعادلة التي حصلنا عليها:

$(x + m)^2 + 8 = (x + \frac{b}{2})^2 – \frac{b^2}{4} + 52$

من المعادلة، يكون معامل $b$ موجودًا بالفعل بأمام المربع في $(x + \frac{b}{2})^2$ ويتم استبعاد الـ $b$ في جزء الثابت. لذا يجب أن يكون $\frac{b^2}{4} = 8$ لتتطابق المعادلتان.

حل المعادلة:
$\frac{b^2}{4} = 8$
$b^2 = 4 \times 8$
$b^2 = 32$
$b = \sqrt{32}$
$b = 4\sqrt{2}$

لذا، قيمة $b$ هي $4\sqrt{2}$.

لحل المسألة، سنستخدم تقنية إكمال المربعات لإعادة صياغة المعادلة الرباعية $x^2 + bx + 44$ إلى شكل مربع كامل.

نبدأ بتذكير بقوانين إكمال المربعات:

1. قانون تكميل المربعات: إذا كانت المعادلة الرباعية على الشكل $ax^2 + bx + c$، فإننا نقوم بإضافة $(\frac{b}{2})^2$ ونطرحه من المعادلة.

2. ملكية المعادلات الرباعية المتممة للمربعات: يمكننا إضافة وطرح نفس القيمة داخل المعادلة دون تغيير قيمتها.

الآن، سنبدأ بتطبيق هذه القوانين على المعادلة $x^2 + bx + 44$:

1. نريد إيجاد المربع الذي يكمل $x^2 + bx$، وهو $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4}$.
2. لحفظ القيمة الأصلية للمعادلة، سنقوم بإضافة وطرح $\frac{b^2}{4}$ داخل المعادلة.

بعد ذلك، سنضيف القيمة 8 إلى المعادلة لتكتمل العملية وتصبح في الشكل $(x + m)^2 + 8$.

الآن، سنقوم بحل المعادلة التي تم التوصل إليها:

1. نجد أن $\frac{b^2}{4} = 8$، من هنا يتبين أن $b^2 = 4 \times 8$.
2. نستخرج الجذر التربيعي لكلا الجانبين لنحصل على قيمة $b$.
3. يكون الحل $b = \sqrt{32}$، وبما أن $32 = 16 \times 2$، فإن $b = 4\sqrt{2}$.

بهذا، قد وصلنا إلى القيمة الصحيحة لـ $b$ التي تمثل العدد الإيجابي المطلوب في المسألة.