حل مسألة: أعداد مركبة وقوانين القيم المطلقة (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $z$ و $w$ هما أعداد مركبة، حيث $|z| = 1$ و $|w| = X$. إذا كان $|z+w| = 2$، فما هو القيمة المطلقة للتالي: $\left | \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right|$؟ إذا كانت الإجابة على هذا السؤال هي $\frac{2}{3}$، فما هي قيمة المتغير $X$ المجهول؟

لنقم أولاً بتحليل الوضع. إذا كان $|z| = 1$، فإن $z$ يكون على دائرة الوحدة في السطح المركب. وبالمثل، إذا كان $|w| = X$، فإن $w$ يكون على دائرة نصف القطر $X$ في السطح المركب.

نعلم أن مقدار مجموع العددين المركبين $z$ و $w$ يساوي 2، أي:
$|z+w| = 2$

من هنا، يمكننا استخدام معرفة مودول العددين $z$ و $w$ لفهم مكانهما الجبري في الفضاء المركب.

لنفرض مؤشرات الزاوية القطبية للعدد المركب $z$ هي $\theta_z$ وللعدد المركب $w$ هي $\theta_w$. إذاً يمكن كتابة $z$ و $w$ على النحو التالي:
$z = \cos(\theta_z) + i \sin(\theta_z)$
$w = \cos(\theta_w) + i \sin(\theta_w)$

حيث $i$ هو الوحدة التخيلية.

لكن لدينا:
$|z| = 1 \implies \cos^2(\theta_z) + \sin^2(\theta_z) = 1 \implies \cos(\theta_z)^2 + \sin(\theta_z)^2 = 1$
$|w| = X \implies \cos^2(\theta_w) + \sin^2(\theta_w) = X^2 \implies \cos(\theta_w)^2 + \sin(\theta_w)^2 = X^2$

الآن، لدينا:
$|z+w| = 2 \implies |\cos(\theta_z) + \cos(\theta_w) + i(\sin(\theta_z) + \sin(\theta_w))| = 2$
$\implies (\cos(\theta_z) + \cos(\theta_w))^2 + (\sin(\theta_z) + \sin(\theta_w))^2 = 4$

الآن، لنقم بتبسيط التعبير. استخدم الهوية المثلثية $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$:
$(\cos(\theta_z) + \cos(\theta_w))^2 + (\sin(\theta_z) + \sin(\theta_w))^2 =$
$\cos^2(\theta_z) + \cos^2(\theta_w) + 2\cos(\theta_z)\cos(\theta_w) + \sin^2(\theta_z) + \sin^2(\theta_w) + 2\sin(\theta_z)\sin(\theta_w) =$
$1 + X^2 + 2\cos(\theta_z)\cos(\theta_w) + 2\sin(\theta_z)\sin(\theta_w) = 4$

لكننا نعلم أن $2\cos(\theta_z)\cos(\theta_w) + 2\sin(\theta_z)\sin(\theta_w)$ هو جزء من الجزء الحقيقي للمنتج المركب $(z \cdot \bar{w})$ حيث $\bar{w}$ هو العدد المركب المختلط المتعامل معه (المتضمن المتغير التخيلي $i$). لذا:
$1 + X^2 + \text{Re}(z \cdot \bar{w}) = 4$

ومن هنا:
$\text{Re}(z \cdot \bar{w}) = 3 – X^2$

الآن، دعونا نفكر في $\frac{1}{z} + \frac{1}{w}$، الذي يمكن كتابته على النحو التالي:
$\frac{1}{z} + \frac{1}{w} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} + \frac{\bar{w}}{|w|^2}$

حيث $\bar{z}$ هو العدد المركب المختلط المتعامل معه لـ $z$. ومن هنا:
$\frac{1}{z} + \frac{1}{w} = \frac{\bar{z}}{1} + \frac{\bar{w}}{X^2} = \bar{z} + \frac{\bar{w}}{X^2}$

الآن، سنقوم بحساب قيمة $\left | \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right|$:
$\left | \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right| = \left | \bar{z} + \frac{\bar{w}}{X^2} \right|$

ومن ثم:
$\left | \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right| = |\bar{z}| + \left |\frac{\bar{w}}{X^2}\right|$

لكن $|\bar{z}| = |z| = 1$، وبالتالي:

في حل المسألة الرياضية المعطاة، استخدمنا عدة مفاهيم وقوانين رياضية. لنلخص الخطوات والمفاهيم التي تم استخدامها:

1. المعادلات الكمّيّة للأعداد المركبة: استخدمنا المعادلات الكمّيّة للعددين المركبين $z$ و $w$ لفهم موقعهما في السطح المركب. هذه المعادلات تعتمد على مفهوم المودول أو القيمة المطلقة للأعداد المركبة.

2. الهويات المثلثية: استخدمنا الهويات المثلثية مثل $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ لتبسيط التعبيرات وحساب القيم الزاوية.

3. جمع وطرح الأعداد المركبة: قمنا بجمع وطرح الأعداد المركبة، واستخدمنا معلومات عن قيم مقدارية لتحديد الشروط على المجموع والفرق بينهما.

4. المعادلات العقدية: استخدمنا المعادلات العقدية لتحديد العلاقة بين المجموع والفرق بين الأعداد المركبة.

5. المعادلات المركبة والمتعقدة: قمنا بتحليل المعادلات المركبة والمتعقدة للعثور على القيم المطلوبة.

6. قوانين القيم المطلقة: استخدمنا قوانين القيم المطلقة للأعداد المركبة لتحديد المسافة بينهما في الفضاء المركب.

7. التعبيرات الرياضية المعقدة: تعاملنا مع التعبيرات الرياضية المعقدة التي تشمل الأعداد المركبة والمتغيرات المجهولة.

8. حساب القيم المطلقة للتعابير: قمنا بحساب القيم المطلقة لتعابير تشمل الأعداد المركبة والمجهولات.

باستخدام هذه المفاهيم والقوانين، تمكنا من حل المسألة وتحديد القيم المطلوبة بدقة. استخدمنا التحليل الجبري والهندسي لفهم العلاقات بين الأعداد المركبة وتحديد قيمها بناءً على الشروط المعطاة في المسألة.