حل المعادلة: عدد الطلاب ووسائل التنقل (مسألة رياضيات)

عدد الطلاب الكلي هو x. يستقل عشرون منهم حافلة المدرسة معًا، ويستخدم 5/8 من البقية دراجاتهم الخاصة للعودة إلى المنزل، بينما يسير البقية الذين تقع منازلهم بالقرب من المدرسة.

إذاً، عدد الطلاب الذين يسيرون إلى المنزل يمثلون الجزء الباقي من الطلاب بعد ركوب الباص واستخدام الدراجات، وهو 1 – 20/x – (5/8)(x-20). ونعلم أن هذا العدد يساوي 27.

لحساب قيمة المتغير المجهول x، نقوم بحل المعادلة التالية:
1 – 20/x – (5/8)(x-20) = 27

نبدأ بضرب كل جزء في المعادلة في 8 لتخلص من المقامات:
8(1) – 8(20/x) – 8(5/8)(x-20) = 8(27)

نبسط العبارات:
8 – 160/x – 5(x-20) = 216

نقوم بتوحيد المعاملات المتشابهة وتبسيط العبارة:
8 – 160/x – 5x + 100 = 216

نجمع الأعداد المتشابهة:
-5x – 160/x + 108 = 216

نقوم بترتيب العبارة للحصول على معادلة من الدرجة الثانية:
-5x – 160/x = 108 – 8

نجمع الأعداد:
-5x – 160/x = 100

نضرب في المقام لتخلص من المقام في المعادلة:
-5x^2 – 160 = 100x

نقوم بجمع كل المصطلحات في جهة واحدة:
-5x^2 – 100x – 160 = 0

الآن، يمكننا حل المعادلة السابقة للعثور على قيمة x. يمكن استخدام الطريقة المناسبة لحل المعادلة من الدرجة الثانية، مثل العاملة التفاضلية أو الصيغة السائدة. بعد حساب القيمة المناسبة لـ x، يمكننا التحقق من صحة الإجابة عن طريق وضعها في المعادلة الأصلية للتأكد من أن عدد الطلاب الذين يسيرون إلى المنزل يساوي 27.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتحليل بخطوات أكثر تفصيلاً ونستخدم القوانين الرياضية المناسبة. سنقوم بحل المعادلة التي تمثل المسألة ونستنتج القيمة المجهولة x.

المعلومات المعطاة:

1. عدد الطلاب الكلي هو x.
2. عدد الطلاب الذين يستخدمون حافلة المدرسة هو 20.
3. 5/8 من البقية يستخدمون دراجاتهم، والبقية يسيرون إلى المنزل.

لنكتب المعادلة:
عدد الطلاب الذين يسيرون إلى المنزل = 27
$1 – \frac{20}{x} – \frac{5}{8}(x-20) = 27$

الآن، سنقوم بحل هذه المعادلة. نبدأ بتوحيد المقامات وتبسيط العبارة:

$8(1) – 8\left(\frac{20}{x}\right) – 8\left(\frac{5}{8}\right)(x-20) = 8(27)$

$8 – \frac{160}{x} – 5(x-20) = 216$

نقوم بتوحيد المعاملات وتبسيط العبارة:

$8 – \frac{160}{x} – 5x + 100 = 216$

نجمع الأعداد المتشابهة:

$-5x – \frac{160}{x} + 108 = 216$

نقوم بترتيب العبارة للحصول على معادلة من الدرجة الثانية:

$-5x – \frac{160}{x} = 108 – 8$

نجمع الأعداد:

$-5x – \frac{160}{x} = 100$

نضرب في المقام لتخلص من المقام في المعادلة:

$-5x^2 – 160 = 100x$

نقوم بجمع كل المصطلحات في جهة واحدة:

$-5x^2 – 100x – 160 = 0$

الآن، سنستخدم قاعدة حل المعادلات من الدرجة الثانية. يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = -5$، $b = -100$، و $c = -160$. نقوم بحساب الجذر التربيعي:

$x = \frac{100 \pm \sqrt{(-100)^2 – 4(-5)(-160)}}{2(-5)}$

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 – 3200}}{-10}$

$x = \frac{100 \pm \sqrt{6800}}{-10}$

$x = \frac{100 \pm 2\sqrt{1700}}{-10}$

الآن، نحسب القيم:

$x_1 = \frac{100 + 2\sqrt{1700}}{-10} \approx -2.15$

$x_2 = \frac{100 – 2\sqrt{1700}}{-10} \approx 22.15$

لاحظ أن $x$ لا يمكن أن تكون قيمة سالبة، لأنها تمثل عددًا طبيعيًا من الطلاب. لذا، نقبل القيمة الإيجابية $x \approx 22.15$.

قوانين الرياضيات المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. قانون توحيد المقامات.
2. استخدام الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية.
3. حساب الجذر التربيعي.
4. حساب القيمة المطلوبة باستخدام الصيغة الرياضية.

يرجى ملاحظة أنه يجب التحقق من الإجابة عن طريق وضع قيمة $x$ في المعادلة الأصلية لضمان صحة الحل.