حل المعادلات المتناسقة بالتحقق الرياضي (مسألة رياضيات)

نحاول حل المتناسقة $11n \equiv 7 \pmod{43}$. لحل هذا النوع من المعادلات التي تتعلق بالتحقق من التكافؤ، نستخدم خوارزمية توسيع الخوارزمية الأوروكليدية. لنحسب أولاً مضاعف لـ11 يكون متساويًا لواحد مضاعف لـ43:

$11 \times 4 = 44 \equiv 1 \pmod{43}$

الآن يمكننا ضرب كلا الجانبين من المتناسقة في 4:

$4 \times 11n \equiv 4 \times 7 \pmod{43}$

هذا يؤدي إلى:

$n \equiv 28 \pmod{43}$

لذا، الحلا للمعادلة المتناسقة هو $n \equiv 28 \pmod{43}$.

بالطبع، سنقوم بحل المعادلة المتناسقة $11n \equiv 7 \pmod{43}$ بتفصيل أكثر واستخدام القوانين المناسبة.

لنقم بحل المعادلة، نبدأ بالبحث عن عدد صحيح يُرضي الشرط التالي:
$11n \equiv 7 \pmod{43}$

نحاول توحيد الضربة الرئيسية (المضاعفة) على الجهة اليسرى من المتناسقة. لدينا $11$ ونريد الوصول إلى $1$ مع $43$، لذا نحتاج إلى البحث عن عدد يكون مضاعفًا لـ $11$ يساوي وحدة بالنسبة للقسمة على $43$.

نجد أن $11 \times 4 = 44$، وبما أن $44 \equiv 1 \pmod{43}$، يمكننا استخدامه. الآن، نقوم بضرب الطرفين في المعادلة الأصلية بـ $4$:
$4 \times 11n \equiv 4 \times 7 \pmod{43}$

هذا يؤدي إلى:
$n \equiv 28 \pmod{43}$

وبالتالي، الحل للمعادلة المتناسقة هو $n \equiv 28 \pmod{43}$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب في المعادلات المتناسقة: إذا قمنا بضرب الطرفين في معادلة متناسقة بنفس العدد، فإن المتناسقة تظل صحيحة.
2. قانون الوحدة المتناسقة: إذا كانت $ax \equiv a’x \pmod{m}$ و $bx \equiv b’x \pmod{m}$، فإن $a + b \equiv a’ + b’ \pmod{m}$.
3. قانون التكافؤ في القسمة: إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \not\equiv 0 \pmod{m}$، فإن $\frac{a}{c} \equiv \frac{b}{c} \pmod{m}$.

تم استخدام هذه القوانين لتوحيد الضربة الرئيسية والوصول إلى الحلا المطلوب.