مسائل رياضيات

حل المعادلات الرياضية بتقنيات التجزئة والضرب العددي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 15/01/2024
0

عندما نعين قيمة $x$ التي تحقق المعادلة الرياضية $3x + 7 \equiv 2 \pmod{16}$، نقوم بحساب قيمة $2x + 11$ بناءً على القيمة المحددة لـ $x$ ونجد الباقي عند قسمها على 16.

لحل المعادلة، نقوم بتحويلها إلى معادلة تعبر عن التجزئة. نقوم بطرح الثابت (7) من الطرفين، ثم نقوم بحساب باقي الناتج عند قسم $3x$ على 16. الهدف هو الوصول إلى معادلة تأخذ شكل $3x \equiv \text{{باقي}} \pmod{16}$.

مواضيع ذات صلة
3x≡2−7≡−5(mod16)3x \equiv 2 – 7 \equiv -5 \pmod{16}

للتسهيل، يمكننا إضافة 16 إلى الباقي للحصول على قيمة إيجابية:

3x≡11(mod16)3x \equiv 11 \pmod{16}

لحساب $x$، نستخدم الخوارزمية الخاصة بحساب العنصر المضاعف للعدد 3 في الحساب المتجه. نقوم بتجريب القيم من 0 إلى 15 حتى نجد القيمة المناسبة لـ $x$.

3×0≡0(mod16)3×1≡3(mod16)3×2≡6(mod16)3×3≡9(mod16)3×4≡12(mod16)3×5≡15(mod16)3×6≡2(mod16)3×7≡5(mod16)3×8≡8(mod16)3×9≡11(mod16)3×10≡14(mod16)3×11≡1(mod16)3×12≡4(mod16)3×13≡7(mod16)3×14≡10(mod16)3×15≡13(mod16)\begin{align*} 3 \times 0 &\equiv 0 \pmod{16} \\ 3 \times 1 &\equiv 3 \pmod{16} \\ 3 \times 2 &\equiv 6 \pmod{16} \\ 3 \times 3 &\equiv 9 \pmod{16} \\ 3 \times 4 &\equiv 12 \pmod{16} \\ 3 \times 5 &\equiv 15 \pmod{16} \\ 3 \times 6 &\equiv 2 \pmod{16} \\ 3 \times 7 &\equiv 5 \pmod{16} \\ 3 \times 8 &\equiv 8 \pmod{16} \\ 3 \times 9 &\equiv 11 \pmod{16} \\ 3 \times 10 &\equiv 14 \pmod{16} \\ 3 \times 11 &\equiv 1 \pmod{16} \\ 3 \times 12 &\equiv 4 \pmod{16} \\ 3 \times 13 &\equiv 7 \pmod{16} \\ 3 \times 14 &\equiv 10 \pmod{16} \\ 3 \times 15 &\equiv 13 \pmod{16} \\ \end{align*}

نجد أن $3 \times 9 \equiv 11 \pmod{16}$، إذاً $x = 9$. الآن، نقوم بحساب قيمة $2x + 11$ ونجد الباقي عند قسمها على 16.

2×9+11≡18+11≡29(mod16)29≡13(mod16)\begin{align*} 2 \times 9 + 11 &\equiv 18 + 11 \equiv 29 \pmod{16} \\ 29 &\equiv 13 \pmod{16} \end{align*}

إذاً، العدد الذي يكون $2x + 11$ متطابقًا في التجزئة مع 16 هو 13.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة الرياضية $3x + 7 \equiv 2 \pmod{16}$، نستخدم قوانين التجزئة والحسابات المتكررة للعثور على قيمة $x$ التي تحقق هذه المعادلة.

المعادلة الأصلية:
3x+7≡2(mod16)3x + 7 \equiv 2 \pmod{16}

نقوم بطرح الثابت (7) من الطرفين:
3x≡−5(mod16)3x \equiv -5 \pmod{16}

لتسهيل الحسابات، يمكن إضافة 16 إلى الباقي للحصول على قيمة إيجابية:
3x≡11(mod16)3x \equiv 11 \pmod{16}

الآن، نستخدم القوانين التي تساعدنا في حساب $x$. يمكننا تجريب الأعداد من 0 إلى 15 للعثور على القيمة المناسبة لـ $x$.

قوانين الحسابات المتكررة:

  1. تكرار الجمع: a≡b(modm)  ⟹  (a+m)≡(b+m)(modm)a \equiv b \pmod{m} \implies (a + m) \equiv (b + m) \pmod{m}
  2. تكرار الضرب: a≡b(modm)  ⟹  (a⋅c)≡(b⋅c)(modm)a \equiv b \pmod{m} \implies (a \cdot c) \equiv (b \cdot c) \pmod{m}

نستخدم تكرار الضرب لحساب $3x$ لقيم مختلفة من $x$:

3×0≡0(mod16)3×1≡3(mod16)3×2≡6(mod16)3×3≡9(mod16)3×4≡12(mod16)3×5≡15(mod16)3×6≡2(mod16)3×7≡5(mod16)3×8≡8(mod16)3×9≡11(mod16)3×10≡14(mod16)3×11≡1(mod16)3×12≡4(mod16)3×13≡7(mod16)3×14≡10(mod16)3×15≡13(mod16)\begin{align*} 3 \times 0 &\equiv 0 \pmod{16} \\ 3 \times 1 &\equiv 3 \pmod{16} \\ 3 \times 2 &\equiv 6 \pmod{16} \\ 3 \times 3 &\equiv 9 \pmod{16} \\ 3 \times 4 &\equiv 12 \pmod{16} \\ 3 \times 5 &\equiv 15 \pmod{16} \\ 3 \times 6 &\equiv 2 \pmod{16} \\ 3 \times 7 &\equiv 5 \pmod{16} \\ 3 \times 8 &\equiv 8 \pmod{16} \\ 3 \times 9 &\equiv 11 \pmod{16} \\ 3 \times 10 &\equiv 14 \pmod{16} \\ 3 \times 11 &\equiv 1 \pmod{16} \\ 3 \times 12 &\equiv 4 \pmod{16} \\ 3 \times 13 &\equiv 7 \pmod{16} \\ 3 \times 14 &\equiv 10 \pmod{16} \\ 3 \times 15 &\equiv 13 \pmod{16} \\ \end{align*}

نجد أن 3×9≡11(mod16)3 \times 9 \equiv 11 \pmod{16}، إذاً x=9x = 9.

الآن، نقوم بحساب قيمة 2x+112x + 11 ونجد الباقي عند قسمها على 16:

2×9+11≡18+11≡29(mod16)29≡13(mod16)\begin{align*} 2 \times 9 + 11 &\equiv 18 + 11 \equiv 29 \pmod{16} \\ 29 &\equiv 13 \pmod{16} \end{align*}

قوانين التجزئة:
3. قانون التجزئة: a≡b(modm)  ⟹  a+c≡b+c(modm)a \equiv b \pmod{m} \implies a + c \equiv b + c \pmod{m}

باختصار، قمنا بتطبيق قوانين الحسابات المتكررة وقوانين التجزئة لتحويل المعادلة الأصلية وحساب القيمة المناسبة لـ $x$، ثم حساب $2x + 11$ وتحديد الباقي عند قسمها على 16.

اخر تحديث 15/01/2024
0