مسائل رياضيات

حل المعادلات الخطية بالمصفوفات (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 24/02/2024
0

المطلوب إيجاد مصفوفة $\mathbf{M}$ بحجم $3 \times 3$ تحقق الشرط التالي:
Mv=−4v\mathbf{M} \mathbf{v} = -4 \mathbf{v}
لكل متجه ثلاثي الأبعاد $\mathbf{v}$.

للحصول على الحل، لنلاحظ أننا بحاجة إلى مصفوفة $\mathbf{M}$ التي تنتج $-4\mathbf{v}$ عندما يُضرب بها أي متجه ثلاثي الأبعاد $\mathbf{v}$. نظرًا لأنه يجب أن ينطبق ذلك لجميع $\mathbf{v}$، فإننا نستنتج أن $\mathbf{M}$ يجب أن تكون مضاعفة للمتجه $\mathbf{v}$ مع تغيير في الاشارة.

مواضيع ذات صلة

فلنفترض أن لدينا مصفوفة:

a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}\] ونأخذ متجهًا عامًا:
\[\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}\] الآن، لنحسب المنتج $\mathbf{M}\mathbf{v}$:
\[
\mathbf{M}\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
ax + by + cz \\
dx + ey + fz \\
gx + hy + iz \\
\end{pmatrix}

وطبقاً للشرط المعطى في المسألة، يجب أن يساوي هذا $-4\mathbf{v}$:

−4v=−4(xyz)=(−4x−4y−4z)-4\mathbf{v} = -4 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4x \\ -4y \\ -4z \\ \end{pmatrix}

الآن، نضع الشرطين معًا ونحصل على نظام معادلات:

{ax+by+cz=−4xdx+ey+fz=−4ygx+hy+iz=−4z\begin{cases} ax + by + cz = -4x \\ dx + ey + fz = -4y \\ gx + hy + iz = -4z \\ \end{cases}

الآن، نحتاج لحل هذا النظام من أجل العثور على قيم $a$، $b$، $c$، $d$، $e$، $f$، $g$، $h$، و $i$.

سنلاحظ أنه بما أن الشرط يجب أن ينطبق لجميع القيم الممكنة لـ $x$، $y$، و $z$، فإننا نحصل على نظام من المعادلات الخطية. من خلال حل هذا النظام، يمكننا إيجاد قيم الـ $a$، $b$، $c$، $d$، $e$، $f$، $g$، $h$، و $i$ التي تحقق الشرط المعطى.

بمجرد حل النظام، سنكون قادرين على تحديد مصفوفة $\mathbf{M}$ التي تحقق الشرط المطلوب.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة المعطاة، نبدأ بتحديد المصفوفة $\mathbf{M}$ التي تحقق الشرط $\mathbf{M} \mathbf{v} = -4 \mathbf{v}$ لجميع المتجهات الثلاثية الأبعاد $\mathbf{v}$.

نظرياً، المصفوفة $\mathbf{M}$ تحقق الشرط المعطى إذا كانت العلاقة التالية صحيحة لجميع المتجهات $\mathbf{v}$:
Mv=(abcdefghi)(xyz)=−4(xyz)\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = -4 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

بمعنى آخر، نحن بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

(ax+by+czdx+ey+fzgx+hy+iz)=(−4x−4y−4z)\begin{pmatrix} ax + by + cz \\ dx + ey + fz \\ gx + hy + iz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4x \\ -4y \\ -4z \end{pmatrix}

بتطبيق القوانين الخاصة بضرب المصفوفات والمتجهات، نحصل على النظام التالي من المعادلات:

{ax+by+cz=−4xdx+ey+fz=−4ygx+hy+iz=−4z\begin{cases} ax + by + cz = -4x \\ dx + ey + fz = -4y \\ gx + hy + iz = -4z \end{cases}

هذا النظام عبارة عن ثلاث معادلات خطية في تسعة متغيرات. لحل هذا النظام، يمكننا استخدام العديد من الطرق، مثل طريقة الاستبدال أو طريقة الإقتران أو طريقة المعادلات المتعددة.

باختيار أي من هذه الطرق، نحصل على قيم الـ $a$، $b$، $c$، $d$، $e$، $f$، $g$، $h$، و $i$ التي تحقق الشرط المطلوب.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

  1. قانون ضرب المصفوفات.
  2. قانون ضرب المصفوفة في متجه.
  3. قوانين الجبر الخطي المتعلقة بحل المعادلات الخطية.

باستخدام هذه القوانين وتطبيقها على المعادلات المعطاة، نستطيع حل المسألة والعثور على قيم المتغيرات المطلوبة للمصفوفة $\mathbf{M}$.

اخر تحديث 24/02/2024
0