حل المعادلات الخطية بالتوزيع (مسألة رياضيات)

المعادلات المعطاة هي:

$x(x+y) = 27$
$y(x+y) = 54$

للحصول على الحل، يمكننا حل المعادلات متتالياً.

لنبدأ بحل المعادلة الأولى:
$x(x+y) = 27$
نقوم بفتح القوس بضرب $x$ في $y$، يصبح المعادلة:
$x^2 + xy = 27$
الآن، لدينا معادلة تمثل علاقة بين $x$ و $y$.

لنحل المعادلة الثانية:
$y(x+y) = 54$
نفتح القوس بضرب $y$ في $x$، يصبح المعادلة:
$xy + y^2 = 54$

الآن، لدينا نظامًا من المعادلات الخطية يمكن حلها. يمكننا استخدام طريقة الاستبدال أو الإضافة للحصول على قيم $x$ و $y$.

لنقم بحساب الاستبدال باستخدام المعادلة الأولى، نقوم بتعويض $x^2 + xy = 27$ في المعادلة الثانية:

$(27) + y^2 = 54$
$y^2 = 54 – 27$
$y^2 = 27$
$y = \sqrt{27}$
$y = 3\sqrt{3}$

الآن، بعد حساب قيمة $y$، يمكننا استخدامها لحساب $x$، حيث إننا نعرف $x(x+y) = 27$:

$x(x+3\sqrt{3}) = 27$
$x^2 + 3\sqrt{3}x – 27 = 0$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة من خلال استخدام القاعدة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 3\sqrt{3}$، و $c = -27$.

$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm \sqrt{(3\sqrt{3})^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm \sqrt{27 + 108}}{2}$
$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm \sqrt{135}}{2}$
$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm 3\sqrt{15}}{2}$

نعتبر الجذر الإيجابي للحصول على قيمة $x$، لذا:

$x = \frac{-3\sqrt{3} + 3\sqrt{15}}{2}$

الآن، بعد حساب قيم $x$ و $y$، يمكننا حساب قيمة $(x+y)^2$:

$(x+y)^2 = \left(\frac{-3\sqrt{3} + 3\sqrt{15}}{2} + 3\sqrt{3}\right)^2$
$(x+y)^2 = \left(\frac{-3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\right)^2$
$(x+y)^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}\right)^2$
$(x+y)^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2\right)^2$
$(x+y)^2 = (3\sqrt{3})^2$
$(x+y)^2 = 9 \times 3$
$(x+y)^2 = 27$

لذا، قيمة $(x+y)^2$ هي 27.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام العديد من القوانين الرياضية والمفاهيم الأساسية في الجبر.

1. القوانين الأساسية للضرب والتوزيع: نبدأ بالتوزيع لفتح القوس، وهي عملية تستخدم لتحويل متعابين متشابكين إلى متعاب واحد.

2. الحل المتتالي للمعادلات الخطية: بما أن لدينا نظامًا من المعادلات الخطية، نستخدم تقنيات حل المعادلات المتتالية لحساب قيم المتغيرات.

3. قوانين الجذور والتعويض: نستخدم قوانين الجذور والتعويض لحساب القيم المجهولة.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

للمعادلات المعطاة:
$x(x+y) = 27$ و $y(x+y) = 54$

نبدأ بفتح القوس في المعادلتين:

1. نقوم بتوزيع $x$ على $x+y$ في المعادلة الأولى، مما يعطينا:
   $x^2 + xy = 27$

2. نفعل الشيء نفسه في المعادلة الثانية، لنحصل على:
   $xy + y^2 = 54$

الآن، لدينا نظامًا من المعادلات الخطية. يمكننا حل هذا النظام باستخدام إحدى الطرق مثل الاستبدال أو الإضافة.

نستخدم الاستبدال لحل المعادلات. نحل إحدى المعادلات لتعبير عن $x$ أو $y$، ثم نستخدم هذا التعبير في المعادلة الأخرى.

لنحل المعادلة الثانية للحصول على تعبير عن $y$:
$y = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

الآن، نستخدم قيمة $y$ في المعادلة الأولى لحساب $x$:
$x(x+3\sqrt{3}) = 27$
$x^2 + 3\sqrt{3}x – 27 = 0$

نحل هذه المعادلة باستخدام القاعدة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية.

بعد حساب قيم $x$ و $y$، نستخدمها لحساب قيمة $(x+y)^2$ كالتالي:

$(x+y)^2 = \left(\frac{-3\sqrt{3} + 3\sqrt{15}}{2} + 3\sqrt{3}\right)^2$
$(x+y)^2 = \left(\frac{-3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\right)^2$
$(x+y)^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}\right)^2$
$(x+y)^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2\right)^2$
$(x+y)^2 = (3\sqrt{3})^2$
$(x+y)^2 = 9 \times 3$
$(x+y)^2 = 27$

بهذا، نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين المعتادة في الجبر وحسبنا قيمة $(x+y)^2$ وجدنا أنها 27.