حل المعادلات الثنائية باستخدام قوانين الجبر (مسألة رياضيات)

التعبير $x^2 + 15x + 54$ يمكن تحليله إلى $(x + a)(x + b)$، والتعبير $x^2 – 17x + 72$ يمكن تحليله إلى $(x – b)(x – c)$، حيث $a$، $b$، و $c$ هي أعداد صحيحة. ما هو قيمة $a + b + c$؟

الحل:
لنحل التعبير الأول $x^2 + 15x + 54$، نحتاج إلى البحث عن اثنين من الأعداد $a$ و $b$ بحيث يكون إجمالي الضرب $ab$ يساوي ثابت المتغيرة $54$ وإجمالي الجمع $a + b$ يساوي معامل $x$ المقترن $15$.

إذاً، لدينا:

$a \times b = 54$

$a + b = 15$

إذاً، الزوج الذي يحقق هذه الشروط هو $a = 9$ و $b = 6$، حيث $9 \times 6 = 54$ و $9 + 6 = 15$.

الآن، لنحل التعبير الثاني $x^2 – 17x + 72$، نحتاج إلى البحث عن اثنين من الأعداد $b$ و $c$ بحيث يكون إجمالي الضرب $bc$ يساوي ثابت المتغيرة $72$ وإجمالي الجمع $b + c$ يساوي معامل $x$ المقترن $-17$.

إذاً، لدينا:

$b \times c = 72$

$b + c = -17$

الزوج الذي يحقق هذه الشروط هو $b = -8$ و $c = -9$، حيث $-8 \times -9 = 72$ و $-8 + (-9) = -17$.

الآن نحن نعلم قيم $a$ و $b$ و $c$، ولذا:

$a + b + c = 9 + 6 + (-8) + (-9) = -2$

إذاً، قيمة $a + b + c$ تكون $-2$.

لنقم بحل التعبيرين $x^2 + 15x + 54$ و $x^2 – 17x + 72$ والعثور على القيم المناسبة للمتغيرات $a$ و $b$ و $c$، يمكننا استخدام قوانين الجبر.

للتعبير الأول $x^2 + 15x + 54$:

1. نحتاج إلى ايجاد اثنين من الأعداد $a$ و $b$ حيث $ab = 54$ و $a + b = 15$.

2. من خلال التجريب والخطأ أو البحث الذكي، يمكننا أن نجد أن $a = 9$ و $b = 6$ يحققان الشرطين.

للتعبير الثاني $x^2 – 17x + 72$:

1. نحتاج إلى ايجاد اثنين من الأعداد $b$ و $c$ حيث $bc = 72$ و $b + c = -17$.

2. من خلال التجريب والخطأ أو البحث الذكي، يمكننا أن نجد أن $b = -8$ و $c = -9$ يحققان الشرطين.

الآن، بعد أن وجدنا القيم المناسبة للمتغيرات، يمكننا حساب قيمة $a + b + c$:

$a + b + c = 9 + 6 + (-8) + (-9) = -2$

قوانين الجبر المستخدمة:

1. قانون الضرب: لحساب القيم الممكنة لـ $ab$ و $bc$.
2. قانون الجمع: لحساب القيم الممكنة لـ $a + b$ و $b + c$.
3. البحث الذكي: استخدام التجريب والخطأ أو البحث الذكي للعثور على الأعداد التي تحقق الشروط.

هذه القوانين تعتمد على المفاهيم الجبرية الأساسية والتفكير الرياضي في فحص العلاقات بين المتغيرات واستخدام العمليات الرياضية للوصول إلى الحلول المناسبة.