حل المعادلات الثانوية بحلول صحيحة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي:

“لكم قيمة صحيحة يمكن أن تأخذها متغير $a$ بحيث تكون المعادلة التالية معادلة ذات حلول صحيحة للمتغير $x$؟ المعادلة هي: $x^2 + ax + 8a = 0$”

لنبدأ في حل المسألة:

المعادلة $x^2 + ax + 8a = 0$ هي معادلة من الدرجة الثانية في المتغير $x$. لتكون لها حلول صحيحة، يجب أن يكون متغير الحل $x$ عددًا صحيحًا. نستخدم الصيغة العامة لحساب الجذرين لمعرفة شروط وجود الحلول الصحيحة.

إذاً، نحتاج إلى أن يكون الجزء تحت الجذر في الصيغة العامة للمعادلة الثانوية $ax^2 + bx + c$ عددًا مربعًا ليكون لدينا جذرًا حقيقيًا. في هذه الحالة، $b^2 – 4ac$ يجب أن يكون مربعًا تامًا.

لدينا $a = 1$، $b = a$، و $c = 8a$.

وبما أننا نريد حلولًا صحيحة، فإن $b^2 – 4ac$ يجب أن يكون مربعًا تامًا. لذا، نكتب:

$(a)^2 – 4(1)(8a) = a^2 – 32a$

الآن، نحتاج لإيجاد القيم الممكنة لـ $a$ حتى يكون العبارة $a^2 – 32a$ مربعًا تامًا.

لاحظ أن $a^2 – 32a = a(a – 32)$.

علينا البحث عن القيم الممكنة لـ $a$ بحيث تكون $a(a – 32)$ مربعًا تامًا. هذا يعني أن كلاً من $a$ و $(a – 32)$ يجب أن يكونا مربعين تامين.

نقوم بفحص الأعداد حتى 32 لنرى أي منها ينتج عن ضربهما مربعًا تامًا. الأعداد الممكنة هي: 0، 1، 4، 9، 16، 25.

نحتاج أيضًا إلى مراجعة القيم السالبة. عندما يكون $a$ سالبًا، يصبح $(a – 32)$ موجبًا.

نعرف أن $a – 32$ يمكن أن يكون مربعًا تامًا فقط إذا كان $a \geq 32$.

لذا، القيم الممكنة لـ $a$ تتضمن الأعداد السالبة من $-25$ إلى $0$، والأعداد الموجبة من $0$ إلى $32$.

إذًا، يمكننا الآن حساب عدد القيم الممكنة لـ $a$ والتي تجعل المعادلة لها حلولاً صحيحة.

للأعداد السالبة: $26$ قيمة.
للأعداد الموجبة: $33$ قيمة.

إجمالاً، هناك $26 + 33 = 59$ قيمة صحيحة لـ $a$ تجعل المعادلة لها حلولاً صحيحة.

لحل المسألة واستيضاح التفاصيل بشكل أكبر، سنستخدم قوانين الجبر والحساب، بما في ذلك قاعدة جذور المعادلات الثانوية والتحليل العددي. سنقوم بتحليل المعادلة الثانوية المعطاة $x^2 + ax + 8a = 0$ ونحاول فهم الشروط التي تجعل لديها حلولًا صحيحة.

1. معادلة القوى التامة: المعادلة $x^2 + ax + 8a = 0$ تمثل معادلة ثانوية بالمتغير $x$ ومعاملات يمكن تحديدها. في هذه المعادلة، $a$ هو المعامل الثاني، و $8a$ هو المعامل الثابت.

2. القاعدة الرئيسية للحلول الصحيحة: لحل معادلة ثانوية بحلول صحيحة، يجب أن تكون الجذور (الحلول) أعدادًا صحيحة.

3. الصيغة العامة لحل المعادلة الثانوية: يمكن استخدام الصيغة العامة $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ لحساب الجذور (الحلول) لمعادلة ثانوية $ax^2 + bx + c = 0$. هنا، $a$، $b$، و $c$ هي المعاملات المعطاة.

4. شرط الحل الصحيح: لكي تكون الحلول صحيحة، يجب أن يكون التعبير $b^2 – 4ac$ مربعًا تامًا.

بناءً على هذه القوانين، نحاول جلب الحلول الصحيحة لمعادلتنا. نقوم بتعويض قيم المعاملات $a$، $b$، و $c$ في الصيغة العامة ونحاول جعل التعبير تحت الجذر مربعًا تامًا. بعد ذلك، نحل المعادلة التي تنشأ عن تحديد الشروط.

بالنسبة للحل الكامل للمسألة، يتضمن الخطوات التالية:

أولاً، نستخدم الصيغة العامة للمعادلة الثانوية لتحديد قيمة التعبير $b^2 – 4ac$ ونجرب جعلها مربعًا تامًا. نحدد القيم الممكنة لـ $a$ التي تفي بشرط الحل الصحيح.

ثانيًا، نقوم بفحص القيم الممكنة لـ $a$ للتأكد من أنها تفي بالشرط الإضافي للحلول الصحيحة.

أخيرًا، نحسب عدد القيم الممكنة لـ $a$ التي تفي بالشروط المطلوبة والتي تجعل المعادلة لها حلولًا صحيحة.

هذه الخطوات تؤدي إلى تحديد عدد القيم الممكنة لـ $a$ والتي تجعل المعادلة لها حلولًا صحيحة.