حل المعادلات التربيعية: قيم ممكنة لـ m (مسألة رياضيات)

إذا كان $m$ عددًا حقيقيًا ولدينا معادلة من الدرجة الثانية $x^2 + mx + 4$ تحتوي على جذرين حقيقيين متميزين، فإن الشرط الذي يجب أن يتحقق هو أن قيمة التمييز (الدلتا) للمعادلة الثانوية تكون إيجابية.

التمييز (الدلتا) لمعادلة من الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c$ هو $\Delta = b^2 – 4ac$.

نطبق هذا الشرط على المعادلة $x^2 + mx + 4$ حيث $a = 1$ و $b = m$ و $c = 4$:

$\Delta = m^2 – 4 \times 1 \times 4 = m^2 – 16$

لكي تكون لدينا جذران حقيقيان متميزان، يجب أن يكون $\Delta > 0$. إذاً:

$m^2 – 16 > 0$

الآن، سنقوم بحل هذه الحالة التي تشير إلى المجموعة من الأعداد التي تجعل هذه العبارة صحيحة.

$m^2 – 16 > 0$
$m^2 > 16$
$m > \sqrt{16}$ أو ( m < -\sqrt{16} ] $m > 4$ أو ( m < -4 ]

لذا، القيم الممكنة لـ $m$ هي جميع الأعداد الحقيقية التي تكون أكبر من 4 أو أصغر من -4.

بالتالي، نعبر عن الإجابة في صورة تواصل مستمر على العدد الحقيقي بدءًا من 4، مع إزالة نقطة 4 بسبب عدم شمولها:

$m \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$

لحل المسألة وتحديد القيم الممكنة لـ $m$ في المعادلة $x^2 + mx + 4$ التي تحتوي على جذرين حقيقيين متميزين، نحتاج إلى استخدام المعرفة الأساسية في الجبر وحساب الجذور.

خطوات الحل:

1. استخدام قاعدة الجذور: المعادلة $x^2 + mx + 4$ تحتوي على جذرين حقيقيين متميزين إذا كان التمييز (الدلتا) $\Delta > 0$.

2. حساب التمييز (الدلتا): نستخدم الصيغة $\Delta = b^2 – 4ac$ حيث $a = 1$، $b = m$، و $c = 4$ لحساب التمييز.

3. تحليل قيم التمييز: التمييز يجب أن يكون إيجابيًا لضمان وجود جذرين حقيقيين متميزين.

4. حل المعادلة الناتجة عن التمييز: نقوم بحساب القيم التي تجعل التمييز إيجابيًا.

5. تمثيل الإجابة بشكل مفهوم: نستخدم علامات النقطة والأقواس لتمثيل النطاقات التي تشمل القيم الممكنة لـ $m$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الجذور: يُستخدم لتحديد وجود الجذور الحقيقية لمعادلة من الدرجة الثانية. إذا كان التمييز (الدلتا) إيجابيًا ($\Delta > 0$)، فهذا يعني أن لدينا جذرين حقيقيين متميزين.
2. صيغة التمييز (الدلتا): تُستخدم لحساب قيمة التمييز في المعادلة الثانوية. يُمثل التمييز القيمة التي تُحدد نوع الجذور للمعادلة.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المذكورة أعلاه، نحل المسألة ونحدد النطاقات التي تشمل القيم الممكنة لـ $m$، ونقدم الإجابة بشكل مفهوم ومدروس.