حل المعادلات التربيعية بفروق جذور (مسألة رياضيات)

الجذور للمعادلة $x^2+kx+5 = 0$ تختلف بمقدار $\sqrt{61}$. أوجد أكبر قيمة ممكنة لـ $k$.

الحل:
لنفرض أن الجذور للمعادلة هي $x_1$ و $x_2$، بحيث $x_1 < x_2$.
نستخدم صيغة الجذر التربيعي للعبارة $x_1x_2 = 5$ والعبارة $x_2 – x_1 = \sqrt{61}$.

باستخدام العلاقة بين جذور المعادلة ومعاملاتها، نعرف أن مجموع الجذور هو $-\frac{k}{1}$، أي $x_1 + x_2 = -k$.

نستخدم العلاقات المعطاة:

1. $x_1x_2 = 5$
2. $x_2 – x_1 = \sqrt{61}$
3. $x_1 + x_2 = -k$

بالتالي، يمكننا استخدام العلاقة الثانية لتجسيد $x_2$ بالنسبة لـ $x_1$، ثم استخدام العلاقة الأولى لحساب قيمة $x_1$، وبالتالي الحصول على قيمة $x_2$، وأخيرًا استخدام العلاقة الثالثة لحساب قيمة $k$.

بدايةً، نلاحظ أن:
$x_2 = x_1 + \sqrt{61}$

ومن العلاقة الأولى:
$x_1x_2 = 5$

باستبدال $x_2$، نحصل على:
$x_1(x_1 + \sqrt{61}) = 5$

الآن، نحل المعادلة الرباعية:
$x_1^2 + \sqrt{61}x_1 – 5 = 0$

نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة الرباعية للعثور على $x_1$، ثم بالتالي على $x_2$.

$x_1 = \frac{-\sqrt{61} \pm \sqrt{61^2 + 4 \times 5}}{2}$

$x_1 = \frac{-\sqrt{61} \pm \sqrt{3721 + 20}}{2}$

$x_1 = \frac{-\sqrt{61} \pm \sqrt{3741}}{2}$

$x_1 = \frac{-\sqrt{61} \pm 61}{2}$

يمكن لـ $x_1$ أن تأخذ قيمتين:

1. $x_1 = \frac{-\sqrt{61} + 61}{2} = 30 – \frac{\sqrt{61}}{2}$
2. $x_1 = \frac{-\sqrt{61} – 61}{2} = -\frac{\sqrt{61}}{2} – 30$

الآن، بالنظر إلى العلاقة $x_1 + x_2 = -k$، نحسب $k$ باستخدام القيم الممكنة لـ $x_1$ و $x_2$ والتي تمثلت بالفعل في الخطوات السابقة:

1. $k_1 = -(30 – \frac{\sqrt{61}}{2}) – (30 + \frac{\sqrt{61}}{2}) = -60$
2. $k_2 = -(-\frac{\sqrt{61}}{2} – 30) – (30 + \frac{\sqrt{61}}{2}) = 60$

إذًا، القيمة الأكبر لـ $k$ هي $60$.

في هذه المسألة، نواجه معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات غير معروفة. الهدف هو إيجاد أكبر قيمة ممكنة للمعامل $k$ على أن تكون الفروق بين الجذور معطاة.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. معادلة الجذر التربيعي: إذا كانت $x_1$ و $x_2$ هما جذور معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات $ax^2 + bx + c = 0$، فإن $x_1x_2 = c$. هذه العلاقة تتأكد من أن ضرب الجذور يساوي الثابت الذي يظهر في المعادلة.

2. العلاقة بين الجذور والمعاملات: لمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، فإن $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. هذه العلاقة تحدد أن مجموع الجذور يساوي السالب من نسبة المعامل الثاني مقسومًا على المعامل الأول.

3. المعادلة التربيعية: لحل المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$: يمكن استخدام الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.

الآن، دعونا نتطرق إلى الحل بالتفصيل:

نعرف من السؤال أن الفرق بين الجذور يساوي $\sqrt{61}$، أي $x_2 – x_1 = \sqrt{61}$.

لدينا أيضًا علاقة بين الجذور والمعاملات: $x_1x_2 = 5$ (الثابت المستقل في المعادلة).

نستخدم العلاقة الثانية لتجسيد $x_2$ بالنسبة لـ $x_1$:
$x_2 = x_1 + \sqrt{61}$

باستخدام العلاقة الأولى، نقوم بتعويض قيمة $x_2$:
$x_1(x_1 + \sqrt{61}) = 5$

ثم نقوم بحساب القيم الممكنة لـ $x_1$ باستخدام الصيغة العامة للمعادلة التربيعية.

بعد العثور على قيم $x_1$ و $x_2$، نستخدم العلاقة الثالثة لحساب قيمة $k$، وهي $k = -(x_1 + x_2)$.

بعد ذلك، نحسب القيم المختلفة لـ $k$ ونختار الأكبر بينها.

وهكذا، نصل إلى الحل النهائي الذي يقدم أكبر قيمة ممكنة لـ $k$.