حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

تعد المعادلات التربيعية واحدة من أبرز المواضيع الرياضية التي يتم تدريسها في مراحل التعليم الأساسي والثانوي، فهي تمثل فئة من المعادلات التي تحتوي على متغير مرفوع للقوة الثانية. المعادلة التربيعية بشكل عام تأخذ الشكل التالي:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

حيث $a$، و $b$، و $c$ هي معاملات حقيقية، و $x$ هو المتغير الذي نسعى لإيجاد قيمته. تعتبر عملية حل المعادلات التربيعية من خلال إكمال المربع إحدى الطرق التقليدية والمهمة التي يعتمد عليها العديد من الطلاب والمعلمون في تدريس هذا النوع من المعادلات، حيث تمنح هذه الطريقة فهماً أعمق لكيفية التعامل مع المعادلات التربيعية وتنظيمها بشكل منطقي وبسيط.

تعريف إكمال المربع

إكمال المربع هو عملية تحويل المعادلة التربيعية إلى معادلة مربعة تحتوي على مربع كامل للمتغير $x$. الهدف من هذه الطريقة هو إظهار المعادلة بشكل يسمح بإيجاد قيم $x$ بطريقة أسهل وأكثر وضوحاً. هذا التحويل يتضمن إضافة أو طرح كمية محددة من أجل إتمام المربع، مما يسهل عملية الحل.

في هذه الطريقة، نقوم بالعديد من الخطوات التي تتطلب منا إعادة صياغة المعادلة لتكون في شكل يمكننا من استخراج الجذر التربيعي للطرفين، وبالتالي إيجاد قيمة المتغير.

خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

لحل المعادلة التربيعية باستخدام إكمال المربع، يجب اتباع عدة خطوات دقيقة من أجل تحويل المعادلة إلى شكل قابل للتعامل معه. وهذه الخطوات هي:

1. التأكد من أن معامل $x^2$ يساوي 1

إذا كان معامل $x^2$ في المعادلة لا يساوي 1، يجب أولاً تقسيم المعادلة بالكامل على هذا المعامل حتى يصبح المعامل أمام $x^2$ مساوياً لـ 1. هذا أمر مهم لأننا نحتاج إلى استخدام الصيغة التي تحتوي على $x^2$ فقط لسهولة إكمال المربع.

على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة هي:

$$2x^2 + 6x – 8 = 0$$

نقسم المعادلة على 2:

$$x^2 + 3x – 4 = 0$$

2. نقل الثابت إلى الطرف الآخر

في هذه الخطوة، نقوم بنقل الثابت (المعادلة التي تحتوي على $c$) إلى الطرف الآخر من المعادلة. هذه خطوة مهمة لتحويل المعادلة إلى شكل يمكننا العمل عليه. سنحصل على الشكل التالي:

$$x^2 + 3x = 4$$

3. إضافة (أو طرح) العدد لإكمال المربع

الهدف من هذه الخطوة هو أن نجد العدد الذي يكمل المربع. لإكمال المربع، نأخذ نصف المعامل $b$ (الذي هو 3 في هذه الحالة)، ثم نرفعه إلى القوة الثانية. بمعنى آخر، نأخذ $\frac{3}{2} = 1.5$ ونرفعها إلى القوة الثانية لنحصل على $1.5^2 = 2.25$.

نضيف هذا العدد إلى كلا الطرفين لكي نتمكن من إتمام المربع:

$$x^2 + 3x + 2.25 = 4 + 2.25$$

النتيجة تكون:

$$x^2 + 3x + 2.25 = 6.25$$

4. تحويل الطرف الأيسر إلى مربع كامل

الطرف الأيسر من المعادلة الآن يمكن كتابته على شكل مربع كامل:

$$(x + 1.5)^2 = 6.25$$

5. أخذ الجذر التربيعي للطرفين

في هذه الخطوة، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين من المعادلة للحصول على قيمة $x$. ولكن يجب أن نأخذ الجذر التربيعي للطرفين مع مراعاة أن الجذر التربيعي قد يكون إيجابياً أو سلبياً. وبالتالي، فإننا نحصل على:

$$x + 1.5 = \pm \sqrt{6.25}$$

بما أن $\sqrt{6.25} = 2.5$، تصبح المعادلة:

$$x + 1.5 = \pm 2.5$$

6. حل المعادلة للحصول على القيم النهائية لـ $x$

الآن، نحل المعادلة للحصول على قيم $x$:

• إذا كانت $x + 1.5 = 2.5$، فإن $x = 2.5 – 1.5 = 1$.

• إذا كانت $x + 1.5 = -2.5$، فإن $x = -2.5 – 1.5 = -4$.

إذن، قيم $x$ هي $x = 1$ و $x = -4$.

مثال آخر

لنأخذ مثالاً آخر لحل المعادلة التربيعية $x^2 + 6x – 7 = 0$ باستخدام طريقة إكمال المربع.

1. التأكد من أن معامل $x^2$ يساوي 1:

في هذا المثال، المعادلة تحتوي على معامل $x^2$ مساوٍ لـ 1، لذا لا حاجة لتعديل المعادلة.

2. نقل الثابت إلى الطرف الآخر:

نقوم بنقل $-7$ إلى الطرف الآخر من المعادلة:

$$x^2 + 6x = 7$$

3. إضافة (أو طرح) العدد لإكمال المربع:

نأخذ نصف المعامل $b$ الذي هو 6، ونقسمه على 2 للحصول على 3، ثم نرفعه إلى القوة الثانية $3^2 = 9$. نضيف هذا العدد إلى كلا الطرفين:

$$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$$

النتيجة تكون:

$$x^2 + 6x + 9 = 16$$

4. تحويل الطرف الأيسر إلى مربع كامل:

الطرف الأيسر يصبح مربعاً كاملاً:

$$(x + 3)^2 = 16$$

5. أخذ الجذر التربيعي للطرفين:

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

$$x + 3 = \pm 4$$

6. حل المعادلة للحصول على القيم النهائية لـ $x$:

نحل المعادلة للحصول على قيم $x$:

• إذا كانت $x + 3 = 4$، فإن $x = 4 – 3 = 1$.

• إذا كانت $x + 3 = -4$، فإن $x = -4 – 3 = -7$.

إذن، القيم النهائية لـ $x$ هي $x = 1$ و $x = -7$.

فوائد وطريقة إكمال المربع

تعتبر طريقة إكمال المربع طريقة أساسية وفعّالة لحل المعادلات التربيعية. رغم أن هناك طرق أخرى مثل استخدام الصيغة التربيعية لحل المعادلات، فإن إكمال المربع يعد ضرورياً لفهم كيفية ظهور الجذور التربيعية وارتباطها بالشكل الجبري للمعادلات التربيعية.

إحدى الفوائد الرئيسية لطريقة إكمال المربع هي أنها تُعد مقدمة جيدة لفهم حل المعادلات التربيعية في الأعداد المركبة، حيث يمكن استخدامها لحل المعادلات التي لا يمكن حلها باستخدام القيم الحقيقية فقط.

الاستنتاج

إكمال المربع هو طريقة فعّالة للغاية لحل المعادلات التربيعية، وتساعد في تبسيط المعادلات المعقدة إلى شكل يمكن معالجته بسهولة أكبر. من خلال هذه الطريقة، يمكن الحصول على الحلول بطريقة منطقية، وتعد هذه الطريقة أساساً لفهم العديد من المفاهيم الرياضية المتقدمة مثل المعادلات ذات الجذور المركبة والمصفوفات.