حل المسائل: طول القطوع في الصناديق الرباعية (مسألة رياضيات)

يتعلق السؤال بتحديد الطول الذي لا يمكن أن يكون طول القطر الخارجي لأحد الوجوه المستطيلة للمنظم الرباعي الزاوي، حيث يتم تقديم مجموعة من الأطوال كخيارات. نريد أن نحدد أيًا من هذه الخيارات لا يمكن أن يكون طول قطر خارجي.

لفهم هذا بشكل أفضل، دعنا نستعرض بعض الخصائص الهامة حول المنظم الرباعي الزاوي (الصندوق):

1. المنظم الرباعي الزاوي له وجوه مستطيلة.
2. جميع الوجوه المستطيلة في المنظم الرباعي الزاوي متوازية ومتساوية الحجم.
3. كل قطر خارجي يربط نقطتين من الزوايا المتقابلة في الصندوق.

لنقم بفحص كل خيار:
أ) {4، 5، 6}: إذا كانت هذه هي طول الأضلاع، فإن قاعدة الصندوق تكون مستطيلة 4 × 6، والقطر الخارجي لهذه القاعدة هو 8، وهذا يمكن أن يكون طول قطر خارجي.
ب) {4، 5، 7}: القاعدة تكون مستطيلة 4 × 7، والقطر الخارجي لهذه القاعدة هو 9، وهذا يمكن أن يكون طول قطر خارجي.
ج) {4، 6، 7}: القاعدة تكون مستطيلة 4 × 7، والقطر الخارجي لهذه القاعدة هو 8، وهذا يمكن أن يكون طول قطر خارجي.
د) {5، 6، 7}: القاعدة تكون مستطيلة 5 × 7، والقطر الخارجي لهذه القاعدة هو 8، وهذا يمكن أن يكون طول قطر خارجي.
ه) {5، 7، 8}: القاعدة تكون مستطيلة 5 × 8، والقطر الخارجي لهذه القاعدة هو 9، وهذا يمكن أن يكون طول قطر خارجي.

بالتالي، الإجابة الصحيحة هي: (أ) {4، 5، 6}.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم خصائص المنظم الرباعي الزاوي (الصندوق) وتطبيق بعض القوانين الهندسية المتعلقة بالمنظمات الرباعية الزاوية.

الخصائص الهامة:

1. في المنظم الرباعي الزاوي، جميع الوجوه متوازية ومتساوية الحجم.
2. القطر الخارجي لوجه المنظم الرباعي الزاوي يربط بين نقطتين غير متجاورتين في القاعدة.
3. في المنظم الرباعي الزاوي، القاعدة تشكل مستطيلًا.

لحل المسألة، نستخدم خاصية القاعدة المستطيلة وعلاقتها بالأضلاع والقطوع الخارجية.
القاعدة المستطيلة للصندوق تحدد طول قطره الخارجي بالنسبة للأضلاع. يمكننا استخدام قانون فيثاغورس لحساب طول القطر الخارجي.

فلنقم بتطبيق هذه القوانين على كل من الخيارات المعطاة:
أ) {4، 5، 6}: يمكن حساب طول القطر الخارجي بواسطة قانون فيثاغورس: $\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$، الذي يمكن تبسيطه لـ $\sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$، وهو طول غير محدد.
ب) {4، 5، 7}: يمكن حساب طول القطر الخارجي بواسطة قانون فيثاغورس: $\sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$، الذي لا يمكن تبسيطه، وهو طول غير محدد.
ج) {4، 6، 7}: يمكن حساب طول القطر الخارجي بواسطة قانون فيثاغورس: $\sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$، الذي لا يمكن تبسيطه، وهو طول غير محدد.
د) {5، 6، 7}: يمكن حساب طول القطر الخارجي بواسطة قانون فيثاغورس: $\sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$، الذي لا يمكن تبسيطه، وهو طول غير محدد.
ه) {5، 7، 8}: يمكن حساب طول القطر الخارجي بواسطة قانون فيثاغورس: $\sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}$، الذي لا يمكن تبسيطه، وهو طول غير محدد.

لذلك، يبدو أن الخيار (أ) {4، 5، 6} هو الوحيد الذي لا يمكن أن يكون طول القطر الخارجي للمنظم الرباعي الزاوي، حيث أن طول القطر الخارجي لا يمكن تقديره بشكل دقيق.