حل المسائل الخطية باستخدام ضرب المصفوفات (مسألة رياضيات)

نريد حساب الناتج من ضرب المصفوفة:

المصفوفة الأولى هي مصفوفة حجمها $2 \times 2$ والمصفوفة الثانية هي مصفوفة حجمها $2 \times 1$، لذا الناتج سيكون مصفوفة $2 \times 1$. لحساب الناتج، نقوم بضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية ونجمع الناتج.

الآن، لحساب هذا الضرب، نقوم بالعمليات التالية:

العملية الأولى: نضرب الصف الأول في المصفوفة الأولى في العمود الأول في المصفوفة الثانية.

العملية الثانية: نضرب الصف الأول في المصفوفة الأولى في العمود الثاني في المصفوفة الثانية.

العملية الثالثة: نضرب الصف الثاني في المصفوفة الأولى في العمود الأول في المصفوفة الثانية.

العملية الرابعة: نضرب الصف الثاني في المصفوفة الأولى في العمود الثاني في المصفوفة الثانية.

لذا، الناتج النهائي سيكون:

من المعطيات، نعلم أن الناتج الصحيح هو:

لذا، يجب أن يكون:

نقوم بحل هاتين المعادلتين للعثور على قيمة $X$:

المعادلة الأولى:

نقوم بإضافة 4 إلى الطرفين:

ثم نقسم كل طرف على -3:

المعادلة الثانية:

نقوم بإضافة 4 إلى الطرفين:

لذا، القيمة الممكنة لـ $X$ هي 3 و -9.

لحل المسألة، نستخدم ضرب المصفوفات وقوانين الجبر الخطي. القوانين المستخدمة تشمل:

1. ضرب المصفوفات: لضرب مصفوفة في مصفوفة أخرى، نحسب الناتج بحيث يتم ضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية ونجمع الناتج.

2. الجمع والطرح في الجبر الخطي: نستخدم القواعد الجبرية الأساسية لحل معادلات الجبر الخطي، مثل جمع وطرح الأعداد والمتغيرات.

3. قواعد الضرب في الجبر الخطي: نستخدم قواعد الضرب في الجبر الخطي لضرب المصفوفات.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. نقوم بضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية ونجمع النتائج.
2. نستخدم القواعد الجبرية لحل المعادلات الناتجة من ذلك لإيجاد قيمة المتغير المجهول $X$.

بعد ذلك، نقوم بحساب قيمة $X$ عن طريق حل المعادلات التي نتجت عن عملية الضرب، ونختار القيمة التي تحقق النتيجة الصحيحة والتي تطابق الناتج المعطى في المسألة.