حل المسألة: زوايا المتجهات الوحدية (مسألة رياضيات)

المتجهات الوحدية $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$، و$\mathbf{c}$ تحددان علاقة رياضية، حيث:

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{\sqrt{2}}$

ونعلم أيضاً أن المجموعة ${\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}}$ خطياً مستقلة. نحتاج إلى حساب الزاوية بين $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ بالدرجات.

للقيام بذلك، سنستفيد من العلاقة الرياضية المعطاة. لنبدأ بحساب المحصلة $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$:

$\mathbf{b} \times \mathbf{c}$

ومن ثم، نقوم بحساب المتجه الناتج عن المنتج المتقاطع $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$:

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$

ونعيد استخدام العلاقة الرياضية المعطاة:

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{\sqrt{2}}$

بعد ذلك، نقارن المكونات الفردية للمتجهين على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة للوصول إلى معلومات حول المتجه $\mathbf{a}$.

باستخدام هذه المعلومات، نقوم بحساب الزاوية بين المتجهات $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ باستخدام تعريف دالة الجيب والمنتج الداخلي.

أخيرًا، نقوم بتحويل الناتج إلى درجات للحصول على الإجابة النهائية.

لنقم بحل هذه المسألة بمزيد من التفصيل. نحن بحاجة إلى استخدام بعض القوانين الرياضية والجبر الخطي لحل المعادلة واستنتاج الزاوية بين المتجهات. دعونا نتابع الخطوات بترتيب:

1. حساب $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$:
   نستخدم قانون متجهي الصليب لحساب المنتج الخارجي بين $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$.

   $\mathbf{b} \times \mathbf{c} = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \sin(\theta_{\text{بين} \, \mathbf{b} \, \text{و} \, \mathbf{c}}) \, \mathbf{n}$

   حيث $\theta_{\text{بين} , \mathbf{b} , \text{و} , \mathbf{c}}$ هو زاوية بين $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ و $\mathbf{n}$ هو المتجه الوحد الناتج.

2. حساب $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$:
   نستخدم مجدداً قانون متجهي الصليب للحصول على المتجه الناتج من العملية.

   $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| \sin(\theta_{\text{بين} \, \mathbf{a} \, \text{و} \, (\mathbf{b} \times \mathbf{c})}) \, \mathbf{m}$

   حيث $\theta_{\text{بين} , \mathbf{a} , \text{و} , (\mathbf{b} \times \mathbf{c})}$ هو زاوية بين $\mathbf{a}$ و المتجه الناتج من عملية $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ و $\mathbf{m}$ هو المتجه الوحد الناتج.

3. مقارنة النتائج:
   نقارن المكونات الفردية للمتجهين على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة.

   $\text{مكونة أولى: } a_x \sin(\theta_1)$
   $\text{مكونة ثانية: } a_y \sin(\theta_2)$
   $\text{مكونة ثالثة: } a_z \sin(\theta_3)$

   حيث $\theta_1$، $\theta_2$، و$\theta_3$ هي زوايا الفرق بين المتجهين في اتجاهات $x$، $y$، و $z$ على التوالي.

4. الحساب النهائي للزاوية:
   باستخدام دالة الجيب، نقوم بحساب الزاوية النهائية بين المتجهات $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$:

   $\cos(\theta_{\text{بين} \, \mathbf{a} \, \text{و} \, \mathbf{b}}) = \frac{\text{منتج داخلي بين} \, \mathbf{a} \, \text{و} \, \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}$

5. تحويل الزاوية إلى درجات:
   نحول الزاوية من الزاوية المستخدمة في الحسابات (ربما راديان) إلى درجات.

القوانين المستخدمة:

• قانون متجهي الصليب.
• تعريف دالة الجيب والمنتج الداخلي.
• خواص المثلثات.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حساب الزاوية بين المتجهات بدقة.