حل المسألة: توازن الإنتاج الفردي والجماعي (مسألة رياضيات)

فرضًا أن الوظيفة المشتركة التي قاموا بإنجازها هي وحدة وظيفية واحدة، عمل الشخص أ لمدة ساعة وبعد ذلك انضم الشخص ب للعمل معًا. يستغرق الشخص أ 6 ساعات لإكمال العمل بمفرده، بينما يستغرق الشخص ب 3 ساعات لإكمال العمل بمفرده.

بمجرد أن ينضم الشخص ب للعمل، يعمل الاثنان معًا لإكمال العمل. يمكننا حساب معدل الإنتاج الكلي للاثنين معًا عن طريق جمع معدلات إنتاجهم الفردية. معدل الإنتاج يتناسب عكسياً مع الوقت المستغرق لإكمال العمل، لذا يمكننا استخدام المعادلة التالية:

$\text{معدل الإنتاج الكلي} = \frac{1}{\text{الزمن اللازم لإكمال العمل}}$

للشخص أ، معدل الإنتاج يكون:

$A = \frac{1}{6}$

وبالنسبة للشخص ب:

$B = \frac{1}{3}$

عندما يعملون معًا، يمكننا جمع معدلات الإنتاج:

$A + B = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

لحساب مجموعهما، نحتاج إلى جمع الكسور. لتسهيل هذا العمل، نبحث عن مضاعف مشترك للمقامات، وهو 6 في هذه الحالة. ثم نجمع العدد البسيط:

$A + B = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6}$

الآن، بمجرد أن يعرفنا معدل الإنتاج الكلي، يمكننا حساب الزمن الذي استغرقه الاثنان لإكمال العمل بالقسمة العكسية:

$\text{الزمن اللازم لإكمال العمل} = \frac{1}{A + B} = \frac{1}{\frac{3}{6}} = \frac{6}{3} = 2$

إذًا، استغرق الاثنان معًا ساعتين لإكمال العمل بمجموعهما. الشخص أ قام بعمل لمدة ساعة، لذا الشخص ب أكمل العمل خلال الساعة الإضافية. لحساب الجزء الذي أكمله الشخص ب بالنسبة للعمل الكلي، نستخدم المعادلة التالية:

$\text{الجزء الذي أكمله الشخص ب} = \frac{\text{الزمن الذي عمله الشخص ب}}{\text{الزمن الكلي لإكمال العمل}} = \frac{1}{2}$

إذاً، الشخص ب أكمل نصف العمل.

حل المسألة:

نفترض أن العمل الذي يتم إنجازه هو وحدة وظيفية واحدة. لنحسب معدل الإنتاج لكل شخص بمفرده، نستخدم القاعدة التالية:

$\text{معدل الإنتاج} = \frac{1}{\text{الزمن المستغرق لإكمال العمل}}$

للشخص A الذي يستغرق 6 ساعات لإكمال العمل بمفرده:

$A = \frac{1}{6}$

وبالنسبة للشخص B الذي يستغرق 3 ساعات لإكمال العمل بمفرده:

$B = \frac{1}{3}$

عندما يعملون معًا، يجمعون معدلات الإنتاج:

$A + B = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

لتسهيل الجمع، نبحث عن مضاعف مشترك للمقامات، وهو 6 في هذه الحالة. ثم نجمع العدد البسيط:

$A + B = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6}$

الآن، لحساب الزمن الذي استغرقه الاثنان لإكمال العمل، نستخدم القاعدة التالية:

$\text{الزمن المستغرق لإكمال العمل} = \frac{1}{\text{معدل الإنتاج الكلي}}$

$\text{الزمن المستغرق لإكمال العمل} = \frac{1}{\frac{3}{6}} = \frac{6}{3} = 2$

إذًا، استغرق الاثنان معًا ساعتين لإكمال العمل بمجموعهما.

الجزء الذي أكمله الشخص B يمكن حسابه باستخدام القاعدة التالية:

$\text{الجزء الذي أكمله الشخص B} = \frac{\text{الزمن الذي عمله الشخص B}}{\text{الزمن الكلي لإكمال العمل}}$

$\text{الجزء الذي أكمله الشخص B} = \frac{1}{2}$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون العمل الفردي: ينص على أن معدل الإنتاج يكون عكسياً متناسبًا مع الوقت المستغرق لإكمال العمل بمفرد.

2. قانون العمل المشترك: عندما يعمل شخصان معًا، يمكن جمع معدلات الإنتاج الفردية للحصول على معدل الإنتاج الكلي.

3. قانون الزمن والإنتاج: ينص على أن الزمن اللازم لإكمال العمل هو عكس معدل الإنتاج الكلي.