حل المسألة: تقسيم الأعداد إلى قوى مختلفة (مسألة رياضيات)

عند تعبير العدد 400 على شكل مجموعة من قوى مختلفة للعدد 2، فإن أصغر مجموع لأسس هذه القوى يجب أن يكون 19. لحساب القيمة المجهولة X، نستخدم العلاقة التالية:

$2^x = 400$

نريد أن نجد قيمة $x$، وهذا يمكننا القيام به بواسطة تجريب الأسس المختلفة للعدد 2. بما أننا نعلم أن $2^9 = 512$، فإن القيمة التي تقل عن 400 وتكون أكبر من $2^8$ هي $2^8$. لذا، نستنتج أن قيمة المتغير المجهول X هي 8.

لكن لنتحقق من صحة هذا الحل، فلنحسب $2^8$ لنرى إن كانت النتيجة تقترب من 400:

$2^8 = 256$

النتيجة أقل من 400. نجرب القوة التالية:

$2^9 = 512$

النتيجة أكبر من 400. لذا، قيمة المتغير المجهول X تساوي 8.

في هذه المسألة، نحاول تعبير العدد 400 كمجموعة من الأسس المختلفة للعدد 2. الهدف هو العثور على أصغر مجموع لهذه الأسس. لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم أسس الأعداد وقوانين الأسس.

القانون الأساسي الذي نستخدمه هو:

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

هذا القانون يعني أنه عندما نقوم بضرب عددين مع قواعد متساوية، نقوم بجمع الأسس.

بدأنا بتعبير العدد 20 كمثال، حيث كتبناه على النحو التالي:

$20 = 2^4 + 2^2$

نلاحظ أن مجموع الأسس هنا يساوي 6.

بعد ذلك، ننتقل إلى تعبير العدد 400. نحاول استخدام أقل عدد ممكن من الأسس للعدد 2 للوصول إلى هذا العدد. بما أننا نعرف أن $2^9 = 512$ و $2^8 = 256$، فنلاحظ أن $2^8$ هو الأقرب إلى 400.

للتحقق من أن $2^8$ هو الأقرب، نستخدم القانون المذكور أعلاه. فإذا كان $2^9$ يساوي 512، فإن:

$2^9 + 2^8 = 512 + 256 = 768$

هذا الناتج يتجاوز 400، لذا يجب أن نستخدم فقط $2^8$، ونجد أن مجموع الأسس هو 8.

الحل النهائي:
$400 = 2^8$
$\text{أقل مجموع للأسس} = 8$

باختصار، استخدمنا قانون الأسس لتجزئة العدد 400 إلى مجموعة من الأسس مع اختيار الأقل منها، وبالتالي تحديد أقل مجموع للأسس.