حل المسألة: العبارة القابلة للقسمة على 5 (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد أكبر قيمة ممكنة للعدد $n$، حيث $n$ أقل من 100,000، بحيث يكون العبارة $8(n-2)^5 – n^2 + 14n – 24$ قابلة للقسمة على 5 بدون باقي.

لنبدأ بحل المعادلة:

$8(n-2)^5 – n^2 + 14n – 24$

نريد أن نجعل هذه العبارة قابلة للقسمة على 5، مما يعني أن الباقي عند قسمتها على 5 يجب أن يكون صفراً.

لنقوم بحل المعادلة باستخدام عدة خطوات:

1. نرتب العبارة ونجمع المتغيرات المماثلة:

$8(n-2)^5 – (n^2 – 14n + 24)$

2. نفك الأقواس باستخدام القاعدة التالية: $(a-b)^5 = a^5 – 5a^4b + 10a^3b^2 – 10a^2b^3 + 5ab^4 – b^5$:

$8(n^5 – 10(n^4)(2) + 40(n^3)(4) – 80(n^2)(8) + 80(n)(16) – 32) – n^2 + 14n – 24$

3. نقوم بتبسيط التعبير:

$8n^5 – 80n^4 + 320n^3 – 640n^2 + 640n – 256 – n^2 + 14n – 24$

4. نجمع المتغيرات المماثلة:

$8n^5 – 80n^4 + 320n^3 – (n^2 – 640n^2) + (640n + 14n) – (256 + 24)$

5. نقوم بتبسيط المعادلة الناتجة:

$8n^5 – 80n^4 + 320n^3 – 641n^2 + 654n – 280$

6. الآن نريد أن نجعل هذه العبارة قابلة للقسمة على 5، لذا باستخدام قاعدة قسمة الأعداد على 5، نريد أن يكون الباقي عند القسمة على 5 صفرًا.

الآن نقوم بتجريب الأعداد المختلفة للبحث عن القيمة المناسبة:

لنبدأ باستبدال $n$ بأقل قيمة ممكنة، وهي 0:

$8(0)^5 – 80(0)^4 + 320(0)^3 – 641(0)^2 + 654(0) – 280 = -280$

الباقي عند قسمة -280 على 5 ليس صفرًا، لذا 0 ليس الحل.

نستمر في التجريب مع الأعداد الأكبر، نجد أن $n = 81$ هي القيمة المناسبة، حيث يعطي الباقي صفر عند القسمة على 5.

لذا، أكبر قيمة ممكنة لـ $n$ والتي تقل عن 100,000 وتجعل العبارة $8(n-2)^5 – n^2 + 14n – 24$ قابلة للقسمة على 5 هي $n = 81$.

لحل المسألة وإيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ $n$، حيث $n$ أقل من 100,000 وتجعل العبارة $8(n-2)^5 – n^2 + 14n – 24$ قابلة للقسمة على 5 بدون باقي، سنقوم بتطبيق مجموعة من الخطوات الرياضية واستخدام بعض القوانين والمفاهيم:

1. القسمة على 5:
   نحلل العبارة للتحقق مما إذا كانت قابلة للقسمة على 5 أم لا. إذا كانت العبارة قابلة للقسمة على 5 بدون باقي، فإن الشرط المطلوب يتحقق.

2. التحليل الجبري:
   نستخدم القوانين الجبرية مثل قاعدة فارنيت، قواعد تبسيط الأعداد، وقواعد تفكيك التعابير لتبسيط العبارات الجبرية.

3. البحث والتجريب:
   يتطلب الحل تجريب القيم المختلفة لـ $n$ للتحقق من القيم التي تجعل العبارة قابلة للقسمة على 5.

الآن، سنقوم بالتفاصيل الأكثر دقة في حل المسألة:

نعلم أن العبارة $8(n-2)^5 – n^2 + 14n – 24$ يجب أن تكون قابلة للقسمة على 5. لذا، باستخدام قاعدة قسم الأعداد على 5، نحتاج إلى أن يكون الباقي عند قسم العبارة على 5 يساوي صفر.

نقوم بفك الأقواس وتبسيط التعبير كالتالي:

$8(n^5 – 10(n^4)(2) + 40(n^3)(4) – 80(n^2)(8) + 80(n)(16) – 32) – n^2 + 14n – 24$

بتبسيطها، نحصل على:

$8n^5 – 80n^4 + 320n^3 – 641n^2 + 654n – 280$

الآن، نحتاج إلى تجريب القيم المختلفة لـ $n$ للعثور على القيمة التي تجعل العبارة قابلة للقسمة على 5. نبدأ بالقيم الأقل، ونتحرك تدريجياً حتى نصل إلى القيمة الأكبر المطلوبة والتي تقل أيضاً عن 100,000.

بالتجريب، نجد أن $n = 81$ هي القيمة التي تجعل العبارة قابلة للقسمة على 5 بدون باقي.

هذه العملية تعتمد بشكل كبير على القوانين الجبرية ومهارات التحليل الرياضي في التعامل مع التعابير والمعادلات الرياضية.