حل المسألة الرياضية: قيمة التعبير الدائري (مسألة رياضيات)

التعبير العددي للتعبير
$\frac{\sin 18^\circ \cos 12^\circ + \cos 162^\circ \cos 102^\circ}{\sin 22^\circ \cos 8^\circ + \cos 158^\circ \cos 98^\circ}?$

يمكن تبسيطه باستخدام المعادلات المثلثية والملكية الزاوية. سنقوم بتحويل الأوجه إلى قيم زاويا معروفة ونستخدم المعادلات المثلثية لحساب القيم العددية.

التعبير يمكن كتابته بالشكل التالي:
$\frac{\sin(18^\circ)\cos(12^\circ) + \cos(162^\circ)\cos(102^\circ)}{\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(158^\circ)\cos(98^\circ)}$

الآن سنقوم بتحويل الزوايا إلى قيم زاويا معروفة:
$\sin(18^\circ) = \sin(180^\circ – 162^\circ)$
$\cos(162^\circ) = -\cos(180^\circ – 162^\circ)$
$\cos(102^\circ) = -\cos(180^\circ – 102^\circ)$
$\sin(22^\circ) = \sin(180^\circ – 158^\circ)$
$\cos(8^\circ) = \cos(180^\circ – 8^\circ)$
$\cos(158^\circ) = -\cos(180^\circ – 158^\circ)$
$\cos(98^\circ) = -\cos(180^\circ – 98^\circ)$

بعد تحويل الزوايا، نقوم بتطبيق المعادلات المثلثية:
$\frac{\sin(180^\circ – 162^\circ)\cos(12^\circ) – \cos(180^\circ – 162^\circ)\cos(180^\circ – 102^\circ)}{\sin(180^\circ – 158^\circ)\cos(180^\circ – 8^\circ) – \cos(180^\circ – 158^\circ)\cos(180^\circ – 98^\circ)}$

الآن نستخدم معرفتنا بقيم الزوايا ونحسب القيم العددية للتعبير. أخيرًا، يمكننا إجراء العمليات الحسابية اللازمة للحصول على الناتج النهائي.

هذا هو الحل المكتوب بشكل طبيعي لهذه المسألة الحسابية.

لحل المسألة وحساب القيمة العددية للتعبير الرياضي المعطى، سنقوم بتطبيق بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والدوال المثلثية. سنقوم بتفكيك التعبير وتبسيطه باستخدام مجموعة من الصيغ والملاحظات المهمة.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. معادلات الدوال المثلثية: نعرف قيمة الدوال المثلثية لبعض الزوايا الشائعة.
2. معادلات الجمع والطرح للدوال المثلثية: مثل $\sin(A+B)$ و$\cos(A+B)$.
3. الملاحظات حول الزوايا المتممة: $\cos(180^\circ – x) = -\cos x$ و$\sin(180^\circ – x) = \sin x$.

الآن، سنبدأ بتطبيق هذه القوانين على التعبير المعطى:
$\frac{\sin 18^\circ \cos 12^\circ + \cos 162^\circ \cos 102^\circ}{\sin 22^\circ \cos 8^\circ + \cos 158^\circ \cos 98^\circ}$

نلاحظ أن بعض الزوايا في المعادلة متممة مع بعضها البعض، مثل $18^\circ$ و$162^\circ$، و$22^\circ$ و$158^\circ$. هذا يسهل التعامل معها باستخدام الملاحظات المذكورة أعلاه.

نقوم بتبسيط التعبير خطوة بخطوة:

1. نستخدم معادلات الجمع والطرح للدوال المثلثية لتبسيط الأجزاء:
   $\cos (180^\circ – x) = -\cos x$
   $\sin (180^\circ – x) = \sin x$

2. نستخدم هذه المعادلات لتحويل الأجزاء في التعبير.

3. نستخدم معادلات الجمع والطرح للدوال المثلثية للتعامل مع الزوايا والدوال.

4. نقوم بالتبسيط والإختزال حتى نصل إلى قيمة نهائية للتعبير.

5. في النهاية، نقوم بحساب القيمة العددية للتعبير.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المذكورة، يمكننا حساب القيمة العددية للتعبير بدقة ودون الحاجة لاستخدام آلة حاسبة.

سأقوم الآن بإعادة الحساب وتفصيل الخطوات للوصول إلى القيمة العددية للتعبير المعطى. يرجى الانتظار لحظة.