حل المسألة الرياضية: العملية الحسابية $\star$ (مسألة رياضيات)

العملية $\star$ معرفة بالعلاقة التالية: $a \star b = \frac{a^2}{b}$. فكم عدد الأعداد الصحيحة $x$ التي تجعل قيمة $10 \star x$ عدداً صحيحاً موجباً؟

لنقم بحساب $10 \star x$:
$10 \star x = \frac{10^2}{x} = \frac{100}{x}$

لاحظ أن $x$ يجب أن يكون عاملاً لـ $100$ حتى تكون النتيجة عدداً صحيحاً. نبحث عن العوامل الصحيحة لـ $100$:

$100 = 1 \times 100, \quad 2 \times 50, \quad 4 \times 25, \quad 5 \times 20, \quad 10 \times 10$

إذن، العوامل الصحيحة لـ $100$ هي: $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100$.

ولكننا نحتاج أن تكون $x$ صحيحة، لذا العوامل المقبولة هي تلك التي يمكنها تقسيم $100$ بدقة. لذا، العوامل المقبولة هي:

$x = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100$

إذن، هناك $9$ قيم ممكنة لـ $x$ لجعل $10 \star x$ عدداً صحيحاً موجباً.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم كيفية عمل العملية $\star$ وكيفية جعل الناتج عدداً صحيحاً موجباً.

العملية $\star$ تقوم بتنفيذ العملية التالية: $a \star b = \frac{a^2}{b}$.

لجعل الناتج $10 \star x$ عدداً صحيحاً موجباً، يجب أن يكون $10^2$ (أي $100$) قابل للقسمة على $x$ بدقة، وبمعنى آخر، $x$ يجب أن يكون عاملاً لـ $100$.

نحتاج إلى مراجعة قوانين القسمة والعوامل لحل المسألة:

1. قانون القسمة: إذا كانت $a$ و $b$ أعداداً صحيحة و $b \neq 0$، فإنه يمكن كتابة العملية $a \div b$ على شكل الضرب: $a \div b = a \times \frac{1}{b}$.
2. العوامل: الأعداد التي يمكن أن تقسم $100$ بدقة هي تلك التي يمكن أن تظهر في تحليل العدد $100$ إلى عوامله الأولية.

بناءً على القوانين المذكورة أعلاه، نقوم بتحليل $100$ إلى عوامله الأولية ونستنتج العوامل المقبولة التي يمكن أن تكون قيمة $x$:

$100 = 1 \times 100, \quad 2 \times 50, \quad 4 \times 25, \quad 5 \times 20, \quad 10 \times 10$

بالتالي، العوامل المقبولة لـ $x$ هي: $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100$.

وبناءً على ذلك، يمكننا استنتاج أن هناك $9$ قيم ممكنة لـ $x$ لجعل $10 \star x$ عدداً صحيحاً موجباً.