حساب نصف قطر كرة ملامسة (مسألة رياضيات)

كرتان كرويتان ملامسين على الأرض، حيث يكون لديهما نقطة تلامس مشتركة. إذا كانت إحدى الكرات لديها نصف قطر يبلغ 7 سم، ونقطة التلامس تكون على ارتفاع 10 سم فوق الأرض، فما هو نصف قطر الكرة الأخرى؟

لنقم بحساب ذلك:

نظرًا لأن الكرتين ملامسين، يمكننا ربط مركزي الكرتين ونرسم خطًا يمثل الخط المتصل بين مركزي الكرتين ونقطة التلامس المشتركة. يتكون هذا الخط من الارتفاع الرأسي الذي يبلغ 10 سم والقطر الأفقي للكرة ذات النصف قطر 7 سم.

نستخدم مبدأ الثلاثية القائمة للحساب، حيث يكون الخط الذي رسمناه هو الوتر الذي يربط بين مركز الكرة ذات النصف قطر 7 سم ونقطة التلامس. بما أن هذا الخط يشكل جزءًا من المثلث القائم، يمكننا استخدام معادلة فيثاغورس لحساب الضلع الآخر (نصف قطر الكرة الثانية).

فلنكن $r$ هو نصف قطر الكرة الثانية، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$r = \sqrt{h^2 + d^2} – R$

حيث:

• $h$ هو الارتفاع الرأسي (10 سم).
• $d$ هو القطر الأفقي (نصف قطر الكرة الأولى)، ويكون $d = 2R$ حيث $R$ هو نصف قطر الكرة الأولى (7 سم).

قم بحساب القيم:

$r = \sqrt{10^2 + (2 \times 7)^2} – 7$

$r = \sqrt{100 + 196} – 7$

$r = \sqrt{296} – 7$

$r = 17.2 – 7$

$r = 10.2$

إذا كان نصف قطر الكرة الثانية يبلغ 10.2 سم.

لحل هذه المسألة، استخدمنا قاعدة الثلاثية القائمة ومعادلة فيثاغورس. السياق يشمل كرتين كرويتين ملامسين على الأرض، وقمنا برسم خط يمثل الخط المتصل بين مراكز الكرتين ونقطة التلامس. قمنا بتحديد الأطوال المعروفة واستخدمناها لحساب الأطوال الأخرى.

الخطوات التفصيلية:

1. تحديد الأبعاد المعروفة:
   • نصف قطر الكرة الأولى: $R = 7$ سم.
   • الارتفاع الرأسي: (

10) سم.

2. استخدام معادلة فيثاغورس:

   • قمنا برسم مثلث قائم الزاوية حيث كانت الجهة المقابلة للزاوية القائمة هي الارتفاع الرأسي (10 سم)، والجهة المجاورة كانت تمثل القطر الأفقي للكرة الأولى ($2R$).
   • استخدمنا معادلة فيثاغورس: $c^2 = a^2 + b^2$.
   • حيث $c$ هو الوتر (الجهة الفاصلة بين مركز الكرة الأولى ونقطة التلامس)، $a$ هو الارتفاع الرأسي (10 سم)، و$b$ هو القطر الأفقي ($2R$).

3. تطبيق المعادلة:

   • حسبنا قيم $a$ و $b$ وقمنا بتطبيق المعادلة: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

4. حساب نصف قطر الكرة الثانية:

   • نصف قطر الكرة الثانية ($r$) يكون الفرق بين الوتر ($c$) ونصف قطر الكرة الأولى ($R$): $r = \sqrt{c^2} – R$.

5. إجراء الحسابات:

   • قمنا بحساب قيم $c$ باستخدام المعادلة فيثاغورس.
   • ثم قمنا بحساب قيمة $r$ باستخدام نصف قطر الكرة الأولى ($R$) والقيمة التي حصلنا عليها لـ$c$.

6. النتيجة النهائية:

   • حصلنا على قيمة $r$ التي تُمثل نصف قطر الكرة الثانية، وكانت هي $10.2$ سم.

في هذا الحل، تم استخدام قاعدة الثلاثية القائمة ومعادلة فيثاغورس لحساب الأطوال في المثلث.