حساب نصف القطر باستخدام الانخفاض المائي

الماء يتسرب من أسطوانة بمعدل 0.31 متر مكعب في الدقيقة. بعد مرور 10 دقائق، يقل ارتفاع مستوى الماء بمقدار 1/16 متر. ما هو قيمة النصف القطر بالأمتار؟

لنقم بحساب حجم الماء الذي خرج خلال هذه الفترة. في الدقيقة الواحدة، يخرج 0.31 متر مكعب من الماء. إذاً، خلال 10 دقائق، سيكون الماء الذي خرج:

$0.31 \, \text{م}^3/\text{دقيقة} \times 10 \, \text{دقائق} = 3.1 \, \text{م}^3.$

الماء الذي خرج سيؤدي إلى انخفاض مستوى الماء بمقدار 1/16 متر. لنحسب الحجم الناتج عن هذا الانخفاض:

$V = \text{المساحة القاعدية} \times \text{الارتفاع}.$

حيث إن الأسطوانة لديها شكل دائري، يمكننا استخدام صيغة المساحة القاعدية للدائرة:

$A = \pi r^2.$

إذاً،

$V = \pi r^2 \times \frac{1}{16}.$

الآن، نعين قيمة $r$ عندما يكون الحجم الناتج مساويًا للحجم الذي خرج:

$\pi r^2 \times \frac{1}{16} = 3.1.$

نحسب القيمة:

$r^2 = \frac{3.1 \times 16}{\pi}.$

ثم:

$r = \sqrt{\frac{3.1 \times 16}{\pi}}.$

بتقريب القيمة لأقرب رقم عشري، نجد أن قيمة النصف القطر تقريبًا:

$r \approx 2.8 \, \text{متر}.$

لنقم بحساب القيمة الصحيحة لنصف القطر، سنتبع الخطوات التالية باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية:

1. حساب حجم الماء المتسرب:
   نستخدم معدل التسريب والزمن لحساب حجم الماء المنسكب خلال الـ 10 دقائق الأولى.

   $\text{حجم الماء} = \text{معدل التسريب} \times \text{الزمن}$
   $\text{حجم الماء} = 0.31 \, \text{م}^3/\text{دقيقة} \times 10 \, \text{دقائق} = 3.1 \, \text{م}^3$

2. حساب الانخفاض في ارتفاع الماء:
   نستخدم الانخفاض في مستوى الماء لحساب حجم الماء المنخفض.

   $\text{حجم الماء المنخفض} = \text{المساحة القاعدية} \times \text{الانخفاض}$

   حيث أن المساحة القاعدية لأسطوانة هي $\pi r^2$ والانخفاض هو $\frac{1}{16}$ متر.

   $\text{حجم الماء المنخفض} = \pi r^2 \times \frac{1}{16}$

3. المعادلة الرياضية:
   نعادل بين حجم الماء المتسرب وحجم الماء المنخفض لحساب قيمة $r$.

   $\pi r^2 \times \frac{1}{16} = 3.1$

   يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $r$.

   $r^2 = \frac{3.1 \times 16}{\pi}$
   $r = \sqrt{\frac{3.1 \times 16}{\pi}}$

4. الحل النهائي:
   نحسب القيمة النهائية لـ $r$ باستخدام الآلة الحاسبة أو القيم التقريبية.

   $r \approx 2.8 \, \text{متر}$

القوانين المستخدمة هي:

• حجم الأسطوانة:
  $V = \pi r^2 h$

• سرعة التغير في الارتفاع:
  $\text{حجم} = \text{المساحة القاعدية} \times \text{التغير في الارتفاع}$

ونستخدم هذه القوانين مع الرياضيات الأساسية لحل المسألة والوصول إلى القيمة النهائية لنصف القطر.