حساب نسبة مساحة مثلث AMN في مربع ABCD (مسألة رياضيات)

نعتبر مربعًا ABCD، حيث تمثل النقطة M منتصف الضلع AB، والنقطة N منتصف الضلع BC. سنحسب النسبة بين مساحة المثلث AMN ومساحة المربع ABCD.

لحساب مساحة المثلث AMN، نحتاج إلى معرفة طول ضلعيه AM و MN. إذا كانت A (x₁, y₁) و B (x₂, y₂) هما نقطتي المربع، فإن نقطة M تكون منتصف الضلع AB ويمكن حساب إحداثياتها بواسطة الصيغة:

$M\left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)$

بناءً على ذلك، نجد أن نقطة M تكون منتصف ضلع AB. يمكننا القيام بنفس العملية لحساب إحداثيات نقطة N التي تكون منتصف ضلع BC. الآن، نحتاج إلى حساب طولي ضلعي المثلث AMN.

طول ضلع AM يمكن حسابه باستخدام مسافة بين نقطتي A و M باستخدام المسافة الأفقية والرأسية بينهما:

$AM = \sqrt{(x₂ – x₁)^2 + (y₂ – y₁)^2}$

طول ضلع MN يمكن حسابه بطريقة مماثلة بين نقطتي M و N. الآن، بعد حساب طولي ضلعي المثلث، يمكننا حساب مساحته باستخدام القانون التالي:

$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}$

في هذه الحالة، يكون طول قاعدة المثلث هو AM والارتفاع هو MN. الآن، بعد حساب مساحة المثلث AMN، نقوم بحساب مساحة المربع ABCD باستخدام الصيغة:

$\text{مساحة المربع} = \text{ضلع}^2$

نأخذ النسبة بين مساحة المثلث AMN ومساحة المربع ABCD عن طريق قسمة مساحة المثلث على مساحة المربع ونقوم بتبسيط الناتج إلى الكسر الأبسط.

بالطبع، سأوضح التفاصيل الإضافية لحل المسألة وأقدم شرحًا تفصيليًا للاستنتاجات والقوانين المستخدمة.

نفترض أن نقطتي A و B تمثلان نقاط المربع بإحداثيات (x₁, y₁) و (x₂, y₂) على التوالي. نعلم أن نقطة M هي منتصف ضلع AB، لذا إحداثياتها تُحسب كالتالي:

$M\left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)$

بالمثل، نقطة N التي تمثل نصف ضلع BC يمكن حساب إحداثياتها بنفس الطريقة.

الآن، نحتاج إلى حساب طولي ضلعي المثلث AMN. طول ضلع AM يمكن حسابه باستخدام مسافة بين نقطتي A و M باستخدام المسافة الأفقية والرأسية بينهما:

$AM = \sqrt{(x₂ – x₁)^2 + (y₂ – y₁)^2}$

بنفس الطريقة، نقوم بحساب طول ضلع MN بين نقطتي M و N.

القانون الذي سنستخدمه لحساب مساحة المثلث هو:

$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}$

في هذه الحالة، قاعدة المثلث هي طول ضلع AM، والارتفاع هو طول ضلع MN.

أما بالنسبة لحساب مساحة المربع ABCD، فإنه يمكن حسابها بسهولة باستخدام الصيغة:

$\text{مساحة المربع} = \text{ضلع}^2$

أخيرًا، نحسب النسبة بين مساحة المثلث AMN ومساحة المربع ABCD عن طريق قسمة مساحة المثلث على مساحة المربع، ونقوم بتبسيط الناتج إلى الكسر الأبسط.