حساب نسب المساحات لمكعبين: دليل الحل

نسبة حجوم مكعبين هي 1331:2197. ما هي نسبة مساحاتهما الإجمالية؟ الرجاء العلم أن مساحة واحدة للمكعب تُحسب بالطريقة التالية: 6 × (طول الضلع)^2.

لحساب النسبة بين المساحات الإجمالية للمكعبين، يمكننا استخدام العلاقة بين الحجم والطول الضلع. إذا كانت نسبة الحجوم بين المكعبين هي 1331:2197، فإن نسبة الأضلاع ستكون الجذر الثلاثي لتلك النسبة، أي (11:13).

لنحسب الآن مساحة واحدة لكل مكعب باستخدام العلاقة المعروفة: 6 × (الطول)^2. بما أن النسبة بين الأضلاع هي 11:13، سنقوم بتعيين قيمة مشتركة للأضلاع، فلنفرض أن الأضلاع هي 11 سم و 13 سم.

للمكعب الأول:
مساحة الواحدة = 6 × (11)^2 = 6 × 121 = 726 سم².

للمكعب الثاني:
مساحة الواحدة = 6 × (13)^2 = 6 × 169 = 1014 سم².

الآن، لنحسب النسبة بين مساحاتهما الإجمالية:
نساحة الواحدة الإجمالية = 726 + 1014 = 1740 سم².

نسبة المساحات الإجمالية = (مساحة الواحدة الإجمالية المكعب الأول) : (مساحة الواحدة الإجمالية المكعب الثاني) = 726:1014.

بالتالي، النسبة بين مساحات المكعبين هي 726:1014.

لنقم بحساب النسبة بين مساحات المكعبين وفهم كيف وصلنا إلى هذه الإجابة، سنقوم بتطبيق بعض القوانين الرياضية. لنفترض أن لدينا مكعبين، وسنستخدم القانون الأساسي الذي يتيح لنا حساب حجم المكعب باستخدام طول ضلعه.

لنعتبر أن الطول الضلع للمكعب الأول هو $a$ وللمكعب الثاني هو $b$، ونعلم أن نسبة حجوم المكعبين تكون $\frac{V_1}{V_2} = \frac{a^3}{b^3} = \frac{1331}{2197}$.

لحساب نسبة الأضلاع بين المكعبين، نأخذ الجذر الثلاثي للنسبة:
$\frac{a}{b} = \sqrt[3]{\frac{1331}{2197}}$

الآن، سنقوم بحساب مساحة واحدة لكل مكعب باستخدام القانون الذي يرتبط بمساحة الواجهة للمكعب ($S = 6a^2$).

للمكعب الأول:
$S_1 = 6a^2 = 6(11)^2 = 726 \, \text{سم}^2$

وبنفس الطريقة للمكعب الثاني:
$S_2 = 6b^2 = 6(13)^2 = 1014 \, \text{سم}^2$

الخطوة الأخيرة هي حساب مساحة الواجهة الإجمالية لكل مكعب ($S_1 + S_2$) وحساب نسبة المساحات الإجمالية:
$\text{نسبة المساحات الإجمالية} = \frac{S_1 + S_2}{S_2}$

وهكذا وصلنا إلى النسبة بين مساحات المكعبين ($726 : 1014$).

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون حساب حجم المكعب: $V = a^3$.
2. قانون جذر النسبة الثلاثي لحساب الأضلاع: $\frac{a}{b} = \sqrt[3]{\frac{V_1}{V_2}}$.
3. قانون حساب مساحة الواجهة للمكعب: $S = 6a^2$.
4. قانون حساب نسبة المساحات الإجمالية: $\text{نسبة المساحات الإجمالية} = \frac{S_1 + S_2}{S_2}$.