حساب مساحة مثلث قائم الزاوية (مسألة رياضيات)

إذا كانت الضلع الأطول في مثلث قائم الزاوية يبلغ 5 أمتار والضلع الأقصر 3 أمتار، فما هو مساحة المثلث بالأمتار المربعة؟

لنقم أولاً بتحديد طول الضلع الثالث، والذي يكون أيضًا ضلع الفرضية في مثلث قائم الزاوية. يمكننا استخدام مبرهنة فيثاغورس لحساب طول هذا الضلع. تذكيرًا بأن مبرهنة فيثاغورس تقول أن في مثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر (الضلع الأطول) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

لنحسب طول الضلع الثالث:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 3^2 + 5^2$
$c^2 = 9 + 25$
$c^2 = 34$

الآن، سنحسب القيمة الجذرية لـ $c^2$، حيث أن طول الضلع لا يمكن أن يكون قيمة سالبة.
$c = \sqrt{34}$

بعد حساب الجذر التربيعي للقيمة، نحصل على أن طول الضلع الثالث $c$ يُقارن إلى $\sqrt{34}$ أمتار.

المساحة (A) لمثلث يحسب بواسطة ضرب نصف قاعدته في ارتفاعه، وفي حالة المثلث قائم الزاوية:
$A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$

في هذه الحالة، قاعدة المثلث هي الضلع الأقصر $b$ والارتفاع هو الضلع الأطول $a$. لذا:
$A = \frac{1}{2} \times 3 \times 5$

حساب المساحة:
$A = \frac{1}{2} \times 15$
$A = 7.5$

إذا كانت الوحدة هي الأمتار، فإن مساحة المثلث تكون $7.5$ متر مربع.

بالطبع، سنقوم بتوضيح تفاصيل أكثر لحل المسألة وسنُذكر القوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بمثلث قائم الزاوية، ونحن نعلم أن في مثلث قائم الزاوية، يكون لدينا قاعدة وارتفاع. القاعدة تكون الضلع الأقصر، والارتفاع يكون الضلع الأطول.

القاعدة ($b$) في هذه المسألة هي الضلع الأقصر الذي يبلغ 3 أمتار، والارتفاع ($a$) هو الضلع الأطول الذي يبلغ 5 أمتار. لتحديد الطول الثالث ($c$)، نستخدم مبرهنة فيثاغورس التي تقول:

$c^2 = a^2 + b^2$

حيث:
$c$ هو الضلع الثالث (الوتر).
$a$ هو الضلع الأطول.
$b$ هو الضلع الأقصر.

نستبدل القيم:
$c^2 = 5^2 + 3^2$
$c^2 = 25 + 9$
$c^2 = 34$

ثم نقوم بحساب الجذر التربيعي لـ $c^2$ للحصول على القيمة الإيجابية للضلع الثالث:
$c = \sqrt{34}$

بعد ذلك، نستخدم قانون حساب مساحة المثلث، حيث تُحسب المساحة ($A$) بالنصف من حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع:

$A = \frac{1}{2} \times b \times a$
$A = \frac{1}{2} \times 3 \times 5$
$A = \frac{1}{2} \times 15$
$A = 7.5$

لذا، مساحة المثلث هي 7.5 متر مربع.

قوانين تمثلت في الحل:

1. مبرهنة فيثاغورس: تستخدم لحساب طول الوتر في مثلث قائم الزاوية.
   $c^2 = a^2 + b^2$

2. قانون حساب مساحة المثلث:
   $A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$

   حيث:
   $A$ هي المساحة.
   $\text{base}$ هي القاعدة.
   $\text{height}$ هو الارتفاع.