حساب مساحة المنطقة في مشكلة هندسية (مسألة رياضيات)

المسألة:

لنفترض أن $ABCD$ هي مربع حيث $AB = \sqrt{2016}$. لنقم بتحديد نقطة $X$ على الضلع $AB$ ونقطة $Y$ على الضلع $CD$ بحيث تكون $AX = CY$. نحن نريد حساب مساحة المنطقة المحصورة بين المستطيل $AXYD$.

الحل:

لنبدأ بحساب طول الضلع $AX$. نعلم أن $AX = CY$، ولكن نحن بحاجة إلى قيمة محددة لها. لحساب طول $AX$، يمكننا استخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء.

معادلة المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ في الإحداثيات الكارتيزية تكون:

$\text{المسافة} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

في حالتنا، $X$ تقع على $AB$، لذا إذا كانت إحداثيات $A$ هي $(0, 0)$ وإحداثيات $B$ هي $(\sqrt{2016}, 0)$، يمكننا استخدام المعادلة لحساب $AX$.

$AX = \sqrt{(\sqrt{2016} – 0)^2 + (0 – 0)^2}$

$AX = \sqrt{2016}$

الآن، نحن نعلم أن $AX = \sqrt{2016}$ وأيضًا $CY = \sqrt{2016}$ لأنهما متساويين. بالتالي، يكون الارتفاع العمودي للمنطقة $AXYD$ هو $AX$، وقاعدتيها هما $AY$ و $XD$، واللتين هما ضلعي المربع $ABCD$.

المساحة $S$ للمنطقة $AXYD$ تكون:

$S = \frac{1}{2} \times (\text{القاعدة الأولى} + \text{القاعدة الثانية}) \times \text{الارتفاع}$

$S = \frac{1}{2} \times (\sqrt{2016} + \sqrt{2016}) \times \sqrt{2016}$

$S = \sqrt{2016} \times \sqrt{2016}$

$S = 2016$

إذاً، مساحة المنطقة المحصورة بين المستطيل $AXYD$ هي $2016$ وحدة مربعة.

المسألة:

فلنتأكد أولاً من فهم الوضع. لدينا مربع $ABCD$ حيث $AB = \sqrt{2016}$. نقوم بتحديد نقطة $X$ على ضلع $AB$ ونقطة $Y$ على ضلع $CD$ بحيث تكون $AX = CY$. المطلوب هو حساب مساحة المنطقة داخل المستطيل $AXYD$.

الحل:

لنبدأ بحساب طول الضلع $AX$. نعلم أن $AX = CY$، ولكن كيف يمكننا حساب قيمة هذا الضلع؟ نستفيد هنا من المعادلة الهندسية للمسافة بين نقطتين في الفضاء.

قانون المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ في الإحداثيات الكارتيزية هو:

$\text{المسافة} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

في حالتنا، نقطة $X$ تقع على $AB$، حيث $A(0, 0)$ و $B(\sqrt{2016}, 0)$. لذا، يكون حساب $AX$ كالتالي:

$AX = \sqrt{(\sqrt{2016} – 0)^2 + (0 – 0)^2}$

$AX = \sqrt{2016}$

الآن، نحن نعلم أن $AX = \sqrt{2016}$ وأيضًا $CY = \sqrt{2016}$ لأنهما متساويين. الارتفاع العمودي للمنطقة $AXYD$ هو $AX$، وقاعدتيها هما $AY$ و $XD$، واللتين هما ضلعي المربع $ABCD$.

نستخدم قانون حساب مساحة المستطيل:

$\text{المساحة} = \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

$S = AX \times AY$

$S = \sqrt{2016} \times \sqrt{2016}$

$S = 2016$

إذاً، مساحة المنطقة المحصورة بين المستطيل $AXYD$ هي $2016$ وحدة مربعة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون المسافة بين نقطتين في الإحداثيات:
   $\text{المسافة} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

2. قانون حساب مساحة المستطيل:
   $\text{المساحة} = \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$