حساب مدة العمل الفردي (مسألة رياضيات)

العمال (أ) و (ب) يستطيعان إكمال قطعة من العمل في 6 أيام معًا، و(أ) بمفرده يمكنه إتمام نفس العمل في 13 يومًا. ما هو عدد الأيام الذي يحتاجه (ب) وحده لإكمال العمل؟

لنحسب معدل أداء العامل (أ) في اليوم الواحد، وذلك باستخدام العلاقة التالية:

معدل أداء (أ) = العمل المنجز / عدد الأيام
معدل أداء (أ) = 1 / 13

ثم نستخدم هذا المعدل لحساب معدل أداء العمال (أ) و (ب) معًا، حيث يتم الجمع لأنهما يعملان معًا:

معدل أداء (أ و ب) = معدل أداء (أ) + معدل أداء (ب)
معدل أداء (أ و ب) = 1 / 13 + معدل أداء (ب)

نعلم أنهما يستطيعان إكمال العمل في 6 أيام، لذلك يمكننا حساب العمل المنجز بجمع معدل أداءهما لمدة 6 أيام:

العمل المنجز = معدل أداء (أ و ب) × عدد الأيام
العمل المنجز = (1 / 13 + معدل أداء (ب)) × 6

الآن، نعلم أن العمل المنجز هو 1 (العمل كاملا)، لذلك نضع هذا في المعادلة ونحسب قيمة معدل أداء (ب):

1 = (1 / 13 + معدل أداء (ب)) × 6

نحل المعادلة للعثور على قيمة معدل أداء (ب)، ثم نقوم بحساب عدد الأيام الذي يحتاجه العامل (ب) لإكمال العمل بمفرده باستخدام العلاقة:

معدل أداء (ب) = 1 / 78
عدد الأيام = 78

إذاً، يحتاج العامل (ب) وحده لإكمال العمل في 78 يومًا.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق قوانين العمل والأداء العام. سنبدأ بتحديد معدل أداء العامل (أ) بمفرده باستخدام القانون التالي:

$\text{معدل أداء (أ)} = \frac{\text{العمل المنجز}}{\text{عدد الأيام}}$

حيث يعمل العامل (أ) وحده لمدة 13 يومًا لإكمال العمل الكامل، لذلك:

$\text{معدل أداء (أ)} = \frac{1}{13}$

ثم، سنستخدم هذا المعدل لحساب معدل أداء العامل (أ) و (ب) معًا، حيث يعملان معًا لمدة 6 أيام:

$\text{معدل أداء (أ و ب)} = \text{معدل أداء (أ)} + \text{معدل أداء (ب)}$

ونعلم أن العمل المنجز يكون معادلًا للمعدل المئوي:

$\text{العمل المنجز} = \text{معدل أداء (أ و ب)} \times \text{عدد الأيام}$

لكن يجب أن يكون العمل المنجز هو 1 (العمل كاملاً). لذلك:

$1 = \text{معدل أداء (أ و ب)} \times 6$

الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على معدل أداء (أ و ب)، ثم نستخدمه لحساب معدل أداء العامل (ب) باستخدام القانون نفسه:

$\text{معدل أداء (أ و ب)} = \frac{1}{78}$

$\text{معدل أداء (ب)} = \text{معدل أداء (أ و ب)} – \text{معدل أداء (أ)}$

$\text{معدل أداء (ب)} = \frac{1}{78} – \frac{1}{13}$

الآن، بعد حساب معدل أداء (ب)، يمكننا استخدامه لحساب الوقت الذي يحتاجه العامل (ب) وحده لإكمال العمل بواسطة القانون:

$\text{عدد الأيام} = \frac{1}{\text{معدل أداء (ب)}}$

بهذا الشكل، يحتاج العامل (ب) وحده لـ 78 يومًا لإكمال العمل.