حساب محدد ضرب المصفوفات (مسألة رياضيات)

إذا كانت مقدار محدد المصفوفة A يساوي 2 ومقدار محدد المصفوفة B يساوي 12، فما هو مقدار محدد حاصل ضرب المصفوفات A و B؟

لنفترض أن لدينا مصفوفتين A و B، ونريد حساب محدد حاصل ضربهما. تُعطى قاعدة ضرب المصفوفات بأن الحاصل ضرب مصفوفتين هو مصفوفة جديدة تحتوي على مجموعة من المنتجات الصفية والعمودية.

لحساب محدد المصفوفة الناتجة من ضرب مصفوفتين، نستخدم الصيغة التالية:
$\text{det}(AB) = \text{det}(A) \times \text{det}(B)$

ومن المعطيات المعطاة، نعرف أن محدد المصفوفة A يساوي 2 ومحدد المصفوفة B يساوي 12. لذا، يمكننا استخدام القاعدة المذكورة لحساب محدد حاصل ضرب المصفوفات A و B كالتالي:

$\text{det}(AB) = 2 \times 12 = 24$

إذاً، محدد حاصل ضرب المصفوفات A و B يساوي 24.

لحل هذه المسألة، سنستخدم المفهوم الرئيسي في الجبر الخطي المتعلق بمحدد المصفوفات وقوانين الضرب للمصفوفات.

لنتذكر بعض القوانين المستخدمة:

1. قانون ضرب المصفوفات:
   إذا كانت لدينا مصفوفتان A و B بأبعاد مناسبة للضرب (حيث يكون عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B)، فإن محدد المصفوفة الناتجة من ضربهما يساوي الضرب المباشر لمحددي المصفوفتين A و B.

2. قانون حساب محدد المصفوفة:
   محدد المصفوفة يحسب باستخدام التطبيق المتكرر لعدة قواعد، مثل التحويلات الصفية أو العمودية، حيث يمكن تطبيق مجموعة من العمليات للمصفوفة للوصول إلى قيمة المحدد.

الآن، دعنا نحسب محدد حاصل ضرب المصفوفات A و B باستخدام القوانين المذكورة:

من البيانات المعطاة، نعلم أن:
$\text{det}(A) = 2$
$\text{det}(B) = 12$

ونريد حساب:
$\text{det}(AB)$

وفقًا لقانون ضرب المصفوفات:
$\text{det}(AB) = \text{det}(A) \times \text{det}(B)$

نستخدم القيم المعطاة لمحددي المصفوفات A و B للحصول على قيمة محدد المصفوفة الناتجة:
$\text{det}(AB) = 2 \times 12 = 24$

لذا، محدد حاصل ضرب المصفوفات A و B هو 24.

هذا هو الحل بموجب القوانين المذكورة في الجبر الخطي.