حساب محدد المصفوفة: توسيع بمعامل 7 (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
نريد حساب محدد المصفوفة $\mathbf{D}$ ذات الحجم $2 \times 2$، والتي تمثل التوسيع (التضخيم) حول الأصل بعامل مقياس يساوي 7.

الحل:
لنعرف أولاً ماهو المقصود بمحدد المصفوفة (الديترمينانت). المحدد هو قيمة يتم استخراجها من المصفوفة وتمثل الخصائص الخطية والتوسيعية لها. للمصفوفة $\mathbf{D}$، حيث إنها تمثل عملية التوسيع بمعامل مقياس 7 حول الأصل، لدينا:

نريد حساب المحدد لهذه المصفوفة. المحدد لمصفوفة $2 \times 2$ يحسب بالطريقة التالية:

حيث أن $a$، $b$، $c$، و $d$ هم عناصر المصفوفة بالترتيب كما يلي:

للمصفوفة $\mathbf{D}$ التي أعطيتنا إياها:

لذا:

وبالتالي:

إذاً، محدد المصفوفة $\mathbf{D}$ يساوي 49.

لحساب محدد المصفوفة $\mathbf{D}$، التي تمثل التوسيع حول الأصل بعامل مقياس يساوي 7، نستخدم القوانين التالية:

1. قانون حساب محدد المصفوفة لمصفوفة $2 \times 2$:

   المحدد يحسب بالطريقة التالية:

   $$\text{det}(\mathbf{D}) = (a \times d) – (b \times c)$$

   حيث أن $a$، $b$، $c$، و $d$ هم عناصر المصفوفة بالترتيب.

2. خاصية التوسيع (التضخيم) حول الأصل:

   عندما نقوم بتوسيع نقطة أو شكل حول الأصل بمعامل مقياس محدد، يتضاعف حجم الشكل أو المسافة بمقدار هذا المعامل في كل اتجاه. في حالتنا، يتم توسيع بعامل مقياس 7، مما يعني أن كل نقطة في المستوى ستنتقل بعامل 7 إلى اتجاهاتها الرأسية والأفقية.

الآن، بما أن مصفوفة التوسيع $\mathbf{D}$ التي أعطيتنا هي:

نلاحظ أن العناصر الرئيسية على القطر الرئيسي للمصفوفة هي 7، وهي تمثل معامل التوسيع في كلا الاتجاهين الأفقي والرأسي. عناصر الطرف الآخر من المصفوفة هي 0 لأنه لا يوجد تحريك جانبي لأي نقطة.

وبالتالي، نقوم بحساب المحدد كالتالي:

بهذا، نصل إلى أن محدد المصفوفة $\mathbf{D}$ هو 49.