حساب محدد المصفوفة بالقوة 4 (مسألة رياضيات)

إذا كانت مقدار الDeterminant للمصفوفة M يساوي -2، فما هو مقدار الDeterminant للمصفوفة M^4؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم قواعد حساب المحددات (Determinants) للمصفوفات. عندما نربع المصفوفة M، فإننا نربع كل عناصر المصفوفة ونضربها ببعضها البعض للحصول على المصفوفة M^2. وعندما نقوم بذلك مرة أخرى، فإننا نحصل على المصفوفة M^4.

لنفترض أن الأبعاد الخطية للمصفوفة M هي n × n. يُعطى الحد التالي:

det(M^k) = (det(M))^k

حيث k هو القوة التي نريد رفع المصفوفة إليها، و det(M) هو محدد المصفوفة M.

بالنظر إلى هذه الصيغة، يمكننا حساب محدد المصفوفة M^4 عن طريق رفع محدد المصفوفة M إلى القوة 4.

لذا، لدينا:

det(M^4) = (det(M))^4

إذا كان محدد المصفوفة M يساوي -2، فإننا نقوم برفع -2 إلى القوة 4، مما يعطي:

det(M^4) = (-2)^4 = 16

إذاً، محدد المصفوفة M^4 هو 16.

لحل المسألة وحساب محدد المصفوفة M^4 بناءً على المعلومات المعطاة، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والخصائص المتعلقة بحساب المحددات للمصفوفات.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قاعدة حساب محدد المصفوفة M^k: تنص هذه القاعدة على أن محدد المصفوفة المرفوعة للقوة k يساوي محدد المصفوفة الأصلية مرفوعاً لنفس القوة k. بشكل رمزي:
   $\text{det}(M^k) = (\text{det}(M))^k$

2. خاصية الضرب في المحددات: إذا كان لدينا مصفوفتين A و B من نفس الحجم، فإن محدد المصفوفة المنتجة من ضربهما يساوي ضرب محددي المصفوفتين الأصليتين.
   $\text{det}(AB) = (\text{det}(A)) \cdot (\text{det}(B))$

3. تأثير الترتيب في محدد المصفوفة: يمكن تبديل صفوف المصفوفة دون تغيير في محدد المصفوفة، وهذا ينطبق أيضا على أعمدة المصفوفة.

بناءً على هذه القوانين، نستطيع حل المسألة بالشكل التالي:

نعلم أن محدد المصفوفة M يساوي -2. ونحن بحاجة إلى حساب محدد المصفوفة M^4.

وفقًا للقاعدة الأولى، نقوم برفع محدد المصفوفة M إلى القوة 4، وذلك عن طريق رفع -2 إلى القوة 4، مما يعطينا:

$\text{det}(M^4) = (-2)^4 = 16$

وهكذا، وصلنا إلى أن محدد المصفوفة M^4 يساوي 16.

هذا هو الحل الشامل للمسألة، وقد استخدمنا فيه القوانين الثابتة المتعلقة بحساب المحددات للمصفوفات للوصول إلى الإجابة المطلوبة.