حساب مجموعة الكسور باستخدام الجذور (مسألة رياضيات)

لنعتبر $a,$ $b,$ $c,$ و $d$ جذور معادلة $x^4 + 8x^3 + 9x^2 + 5x + 4 = 0.$ نريد حساب قيمة التالي $\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ad} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{cd}.$

لدينا المعادلة الأصلية $x^4 + 8x^3 + 9x^2 + 5x + 4 = 0.$ بمراعاة أن $a,$ $b,$ $c,$ و $d$ هي جذور لهذه المعادلة، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي: $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = 0.$ الآن، لنقم بفتح هذا الضرب:

$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4 + (-a-b-c-d)x^3 + \dots + abcd = 0.$

نقارن بين الطرفين للوصول إلى المعاملات المطلوبة. في هذا السياق، نجد أن:
\begin{align*}
-a-b-c-d &= 8, \
ab+ac+ad+bc+bd+cd &= 5, \
-abc-abd-acd-bcd &= 9, \
abcd &= 4.
\end{align*}

نريد حساب الكمية $\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ad} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{cd}.$

نبدأ بحساب $\frac{1}{ab}$:
$\frac{1}{ab} = \frac{1}{abcd} = \frac{1}{4}.$

بنفس الطريقة، يمكننا حساب الكميات الأخرى على التوالي:
\begin{align*}
\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ad} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{cd} &= \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} \
&= \frac{79}{120}.
\end{align*}

إذاً، قيمة الكمية المعطاة هي $\frac{79}{120}.$

لحل هذه المسألة، سنستخدم بعض القوانين الأساسية للجذور والعلاقات بين معاملات المعادلات.

لنبدأ بالمعادلة الأصلية:
$x^4 + 8x^3 + 9x^2 + 5x + 4 = 0.$

نعلم أن $a,$ $b,$ $c,$ و $d$ هي جذور لهذه المعادلة، لذا يمكننا كتابة المعادلة الجديدة باستخدام هذه الجذور:
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4 + (-a-b-c-d)x^3 + \dots + abcd = 0.$

من هذه المعادلة، نحصل على بعض المعلومات:
\begin{align*}
-a-b-c-d &= 8, \
ab+ac+ad+bc+bd+cd &= 5, \
-abc-abd-acd-bcd &= 9, \
abcd &= 4.
\end{align*}

الآن، نريد حساب الكمية المعطاة:
$\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ad} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{cd}.$

لحساب هذه الكمية، نستخدم العلاقة التالية:
$\frac{1}{xy} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}.$

باستخدام هذه العلاقة، نحسب قيمة كل جزء على حدة:
$\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}, \quad \frac{1}{ac} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{c}, \quad \text{إلخ}.$

ثم نقوم بجمع هذه القيم للحصول على الناتج النهائي:
$\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ad} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{cd} = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\right) + \frac{1}{b} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\right) + \frac{1}{c} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{d}\right) + \frac{1}{d} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right).$

الآن، نستخدم المعلومات التي حصلنا عليها من المعادلة الأصلية لحساب القيم. يمكننا استخدام القوانين الأساسية للجذور، مثل قاعدة فييتا، لحساب مجموعات الجذور والمعاملات.

بهذه الطريقة، نستنتج أن قيمة الكمية المعطاة هي $\frac{79}{120}.$