حساب مجموع مربعات المثلث الإيجابية

مجموع أول n مربعًا مثلثيًا إيجابيًا ، حيث n هو عدد صحيح إيجابي ، يُعطى بالصيغة n ^ 3 / 3 + c * n ^ 2 + n / 6 ، حيث c هو ثابت. نرغب في حساب مجموع أول 17 مربعًا مثلثيًا إيجابيًا.

لحساب هذا المجموع ، نستخدم الصيغة المعطاة:

$S_n = \frac{n^3}{3} + c \cdot n^2 + \frac{n}{6}$

ونريد حساب $S_{17}$ حيث n = 17. لذا:

$S_{17} = \frac{17^3}{3} + c \cdot 17^2 + \frac{17}{6}$

لدينا تعبير يحتوي على المتغير c ونريد حساب قيمته. من خلال معلومات المسألة ، نعلم أن هذا المجموع يمثل مجموع أول 17 مربعًا مثلثيًا إيجابيًا. لحساب قيمة c ، نستخدم الصيغة القياسية لمجموع مربعات المثلث:

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

ونعيد استخدام هذه الصيغة لحساب $S_{17}$:

$S_{17} = \frac{17 \cdot 18 \cdot 35}{6}$

بعد ذلك، نقوم بمطابقة هذه القيمة مع الصيغة الأصلية:

$S_{17} = \frac{17^3}{3} + c \cdot 17^2 + \frac{17}{6}$

وبحل المعادلة نجد قيمة c. بعد حساب قيمة c ، نستخدمها لحساب $S_{17}$ بواسطة الصيغة الأصلية.

لحل هذه المسألة وحساب قيمة $S_{17}$، نستخدم القوانين التالية:

1. صيغة مجموع مربعات المثلث:
   $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

2. الصيغة المعطاة لمجموع أول n مربعًا مثلثيًا:
   $S_n = \frac{n^3}{3} + c \cdot n^2 + \frac{n}{6}$

لحساب قيمة $c$ ، نقارن الصيغتين. يجب أن تكون قيمة $S_n$ متساوية في كلتا الصيغتين عند نفس القيمة $n$. في حالتنا، $n = 17$.

$\frac{17 \cdot 18 \cdot 35}{6} = \frac{17^3}{3} + c \cdot 17^2 + \frac{17}{6}$

نقوم بحساب القيمة اليسارية للمعادلة باستخدام صيغة مربعات المثلث، ثم نقوم بمطابقتها مع الصيغة الأخرى لحساب قيمة $c$.

$\frac{17 \cdot 18 \cdot 35}{6} = \frac{8935}{2}$

الآن، نقوم بمطابقة القيمة اليمنى:

$\frac{17^3}{3} + c \cdot 17^2 + \frac{17}{6}$

نعوض $c$ بقيمتها الصحيحة ونقوم بحساب القيمة النهائية.

$\frac{17^3}{3} + c \cdot 17^2 + \frac{17}{6}$
$= \frac{4913}{3} + \frac{8935}{2} + \frac{17}{6}$

نجمع هذه الكسور للحصول على القيمة النهائية للمجموع.

القوانين المستخدمة:

• صيغة مجموع مربعات المثلث
• صيغة مجموع أول n مربعًا مثلثيًا

تم استخدام هذه القوانين لتحليل النمط الرياضي لمجموع أول n مربعًا مثلثيًا إيجابيًا واستنتاج القيمة المجهولة $c$.