حساب مجموع مربعات الأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

مجموع أول n مربعًا مثلثيًا إيجابيًا، حيث n عدد صحيح إيجابي، يُعبَّر عنه بالصيغة التالية: $\frac{n^3}{3} + cn^2 + \frac{n}{6}$، حيث c هو ثابت. يُريد حساب مجموع أول 20 مربعًا مثلثيًا إيجابيًا.

لحساب هذا المجموع، نستخدم الصيغة المعطاة. في هذه الصيغة، يُمثل $\frac{n^3}{3}$ جزءًا من مجموع المربعات، $cn^2$ يُمثل الجزء الثاني، و $\frac{n}{6}$ يُمثل الجزء الأخير.

نركز أولًا على $\frac{n^3}{3}$، حيث نستبدل n بقيمتها المعنية، وهي 20 في هذه الحالة:
$\frac{20^3}{3}$

الآن، نركز على الجزء الثاني $cn^2$، حيث سنستخدم قيمة c المعتبرة. وفي هذه المسألة، قيمة c غير معروفة، لكنها ثابتة. لحسن الفهم، نستخدم c كرمز للثابت:
$c \times 20^2$

أخيرًا، نضيف الجزء الأخير $\frac{n}{6}$ بتعويض قيمة n:
$\frac{20}{6}$

الآن، نقوم بجمع كل هذه الأجزاء للحصول على المجموع الإجمالي:
$\frac{20^3}{3} + c \times 20^2 + \frac{20}{6}$

هذا هو المجموع النهائي لأول 20 مربعًا مثلثيًا إيجابيًا باستخدام الصيغة المعطاة.

لحل مسألة جمع أول 20 مربعًا مثلثيًا إيجابيًا باستخدام الصيغة $\frac{n^3}{3} + cn^2 + \frac{n}{6}$، سنقوم بتفصيل الحل وذلك باستخدام بعض القوانين الرياضية.

أولًا، سنستخدم قاعدة حساب مجموع مربعات الأعداد الأولية ($1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2$) التي تُعبّر عنها الصيغة المذكورة.

الصيغة: $\frac{n^3}{3} + cn^2 + \frac{n}{6}$

1. حساب $\frac{n^3}{3}$:
   نستخدم قاعدة $\frac{n^3}{3}$ ونعوض n بقيمتها (20):
   $\frac{20^3}{3} = \frac{8000}{3}$

2. حساب $cn^2$:
   نعوض في الجزء الثاني من الصيغة باستخدام c وقيمة n (20):
   $c \times 20^2 = 400c$

3. حساب $\frac{n}{6}$:
   نستخدم قاعدة $\frac{n}{6}$ ونعوض n بقيمتها (20):
   $\frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

المجموع الإجمالي هو مجموع هذه الأجزاء:
$\frac{8000}{3} + 400c + \frac{10}{3}$

هذا هو المجموع النهائي.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة حساب مجموع مربعات الأعداد الأولية:
   $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

2. توسيع الصيغة:
   $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

3. ضرب الثوابت في المتغيرات:
   $c \times n^2 = cn^2$

تم استخدام هذه القوانين لتبسيط وحساب الصيغة المعطاة والوصول إلى المجموع النهائي.