حساب مجموع متتالية هندسية (مسألة رياضيات)

مجموع المتتالية الهندسية $1+2+4+8+16+ \cdots + 1024$ يمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية:

لنتذكر أن المتتالية الهندسية يمكن تمثيلها بالصيغة التالية:
$a_n = a_1 \times r^{n-1}$

حيث:

• $a_1$ هو العنصر الأول في المتتالية.
• $r$ هو النسبة الثابتة بين العناصر المتتالية.
• $n$ هو الموقع الذي نريد حساب العنصر له في المتتالية.

في هذه المسألة:

• $a_1 = 1$ (العنصر الأول).
• $r = 2$ (النسبة الثابتة بين العناصر).
• يجب أن نحسب $n$ للعنصر الأخير في المتتالية.

للعثور على $n$، نستخدم العلاقة التالية:
$a_n = a_1 \times r^{n-1}$

لكن في هذه الحالة، نريد معرفة $n$ للعنصر الأخير $a_n = 1024$، لذلك نكتب:
$1024 = 1 \times 2^{n-1}$

نحل المعادلة:
$2^{n-1} = 1024$

ونعرف أن $2^{10} = 1024$، لذلك:
$n-1 = 10$
$n = 11$

الآن، نستخدم صيغة مجموع المتتالية الهندسية:
$S_n = a_1 \times \frac{{r^n – 1}}{{r – 1}}$

نضع القيم في الصيغة:
$S_{11} = 1 \times \frac{{2^{11} – 1}}{{2 – 1}}$
$S_{11} = 1 \times \frac{{2048 – 1}}{{1}}$
$S_{11} = 2047$

إذاً، مجموع المتتالية $1+2+4+8+16+ \cdots + 1024$ يساوي 2047.

لحل مسألة مجموع المتتالية الهندسية $1+2+4+8+16+ \cdots + 1024$، نستخدم مجموع المتتالية الهندسية، وهو يعتمد على قوانين الجبر والنموذج الرياضي للمتتاليات الهندسية. سنحلها بتطبيق الخطوات التالية:

1. تحديد القيم المعروفة:

   • العنصر الأول $a_1 = 1$.
   • النسبة الثابتة $r = 2$.
   • نريد العنصر الحادي عشر $a_{11} = 1024$.

2. حساب عدد العناصر في المتتالية:
   نستخدم العلاقة $a_n = a_1 \times r^{n-1}$ للعثور على القيمة المفقودة، وهي العدد الكلي للعناصر في المتتالية. في هذه الحالة:
   $1024 = 1 \times 2^{n-1}$
   حيث نريد أن نجد قيمة $n$.
   يمكننا حل هذه المعادلة بتجريب الأسس، ونجد أن $2^{10} = 1024$، لذلك $n – 1 = 10$ وبالتالي $n = 11$.

3. حساب مجموع المتتالية:
   نستخدم الصيغة لمجموع المتتالية الهندسية:
   $S_n = a_1 \times \frac{{r^n – 1}}{{r – 1}}$
   حيث:

   • $S_n$ هو مجموع المتتالية الكلي.
   • $a_1$ هو العنصر الأول.
   • $r$ هو النسبة الثابتة.
   • $n$ هو عدد العناصر في المتتالية.

   نضع القيم في الصيغة:
   $S_{11} = 1 \times \frac{{2^{11} – 1}}{{2 – 1}}$
   $S_{11} = 1 \times \frac{{2048 – 1}}{{1}}$
   $S_{11} = 2047$

4. الجوانب الرياضية والجبرية المستخدمة:

   • قوانين الأعداد الهندسية: نحسب العناصر التالية في المتتالية باستخدام النسبة الثابتة.
   • قوانين الجبر: نستخدم العلاقات الجبرية لحساب العناصر والمجموعات.
   • الحساب التفاضلي: نستخدم العلاقات التفاضلية لتحديد العناصر والمجموعات في المتتاليات.
   • الجبر المتقدم: استخدام الصيغ الرياضية المتقدمة لحساب المتتاليات الهندسية ومجموعاتها.

بهذه الطريقة، يمكننا حل المسألة وحساب مجموع المتتالية الهندسية بدقة باستخدام القوانين الرياضية المعروفة والمطبقة في الجبر والحساب.