حساب مجموع متتالية هندسية: تحليل لأول ستة أعداد (مسألة رياضيات)

المتتالية الهندسية المعطاة هي: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, …$.

لحساب مجموع الأعداد الستة الأولى في هذه المتتالية، يمكننا استخدام الصيغة العامة لمجموع المتتالية الهندسية، والتي تأخذ الشكل التالي:

$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع أول n أعداد في المتتالية.
• $a$ هو العنصر الأول في المتتالية.
• $r$ هو النسبة الثابتة للمتتالية.
• $n$ هو عدد العناصر.

في هذه المسألة، $a = \frac{1}{2}$ (العنصر الأول) و $r = \frac{1}{2}$ (النسبة الثابتة). نريد حساب مجموع أول ستة أعداد، لذلك $n = 6$.

$S_6 = \frac{\frac{1}{2}(1 – \left(\frac{1}{2}\right)^6)}{1 – \frac{1}{2}}$

لحساب هذا، يمكننا البدء بتبسيط الأساس في القوس:

$S_6 = \frac{\frac{1}{2}(1 – \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}}$

ثم نقلب الكسر في المقام:

$S_6 = 1 – \frac{1}{64}$

ونقلب الكسر:

$S_6 = \frac{63}{64}$

إذاً، المجموع الكلي للأعداد الستة الأولى في المتتالية هو $\frac{63}{64}$.

لنقم بحساب مجموع الأعداد الستة الأولى في المتتالية الهندسية المعطاة: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, …$.

القانون المستخدم في هذا الحل هو قانون مجموع المتتاليات الهندسية، والذي يأتي بالصيغة التالية:

$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع أول n أعداد في المتتالية.
• $a$ هو العنصر الأول في المتتالية.
• $r$ هو النسبة الثابتة للمتتالية.
• $n$ هو عدد العناصر.

في هذه المسألة، قيمنا هي:

• $a = \frac{1}{2}$ (العنصر الأول في المتتالية).
• $r = \frac{1}{2}$ (النسبة الثابتة للمتتالية).
• $n = 6$ (عدد العناصر التي نريد حساب مجموعها).

الآن سنستخدم هذه القيم في الصيغة:

$S_6 = \frac{\frac{1}{2}(1 – \left(\frac{1}{2}\right)^6)}{1 – \frac{1}{2}}$

نبدأ بحساب القيم في القوس:

$S_6 = \frac{\frac{1}{2}(1 – \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}}$

ثم نبسط الكسور:

$S_6 = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$

الآن، نقوم بضرب العددين في العدد 1/2:

$S_6 = \frac{63}{64}$

وهذا هو الجواب النهائي. القوانين المستخدمة هي قوانين المتتاليات الهندسية، وتضمنت القاعدة العامة لمجموع المتتاليات الهندسية.