حساب مجموع قياسات زوايا مضلع نظامي (مسألة رياضيات)

إذا كانت كل زاوية خارجية للمضلع النظامي تقيس 30 درجة، فما هو مجموع قياسات الزوايا الداخلية، بالدرجات؟

لنحدد أولاً عدد الزوايا في المضلع. يُعرف أنه في مضلع نظامي، جميع الزوايا الداخلية متساوية، لذا يمكننا استخدام العلاقة بين مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المضلع وعددها.

نستخدم العلاقة التالية لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مضلع:

$\text{مجموع الزوايا الداخلية} = (n – 2) \times 180^\circ$

حيث $n$ يمثل عدد الزوايا في المضلع.

لدينا معلومة عن كل زاوية خارجية تساوي 30 درجة. الزاويتان المتجاورتان في المضلع النظامي تكونان معاً في خط مستقيم وبالتالي مجموعهما يساوي 180 درجة.

وبما أن كل زاوية خارجية تساوي 30 درجة، فإن الزاوية الداخلية المقابلة لها تكون 180 – 30 = 150 درجة.

نعلم أن مجموع عدد الزوايا الخارجية يساوي 360 درجة في أي مضلع.

إذاً، عدد الزوايا في المضلع يُمثله $n$، والعلاقة بين عدد الزوايا الخارجية وعدد الزوايا الداخلية في المضلع كالتالي:

$n \times 30^\circ = 360^\circ$

بالتالي:

$n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$

إذاً، المضلع يحتوي على 12 زاوية.

الآن، نستخدم العلاقة التي ذكرناها في البداية لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية:

$\text{مجموع الزوايا الداخلية} = (n – 2) \times 180^\circ$
$= (12 – 2) \times 180^\circ = 10 \times 180^\circ = 1800^\circ$

إذاً، مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المضلع هو 1800 درجة.

في هذه المسألة، نواجه مضلعًا نظاميًا، وهو مضلع يتميز بأن جميع أضلاعه متساوية الطول وجميع زواياه متساوية القياس. يُعرف أنه في مضلع نظامي، يمكننا استخدام عدد قليل من القوانين الهندسية لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية.

القوانين المستخدمة:

1. قانون مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مضلع: مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مضلع يتكون من $n$ زاوية هو $(n – 2) \times 180^\circ$.

2. علاقة الزوايا الداخلية والخارجية في مضلع نظامي: كل زاوية داخلية وخارجية في مضلع نظامي تكمل بعضها البعض لتشكل 180 درجة.

الآن، لنحل المسألة:

1. نعرف أن كل زاوية خارجية تقيس 30 درجة.

2. بما أن الزاوية الداخلية والخارجية المتقابلتين تكمل بعضهما البعض لتشكل خط مستقيم، فإن الزاوية الداخلية المقابلة للزاوية الخارجية تكون $180^\circ – 30^\circ = 150^\circ$.

3. لحساب عدد الزوايا في المضلع، نستخدم العلاقة بين عدد الزوايا الخارجية وعدد الزوايا الداخلية في المضلع، والتي تعطينا $n \times 30^\circ = 360^\circ$.

4. نقوم بحساب عدد الزوايا في المضلع من العلاقة السابقة، ونجد $n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$.

5. أخيرًا، نستخدم قانون مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المضلع لحساب المجموع الإجمالي لقياسات الزوايا الداخلية، وهو $(n – 2) \times 180^\circ = (12 – 2) \times 180^\circ = 10 \times 180^\circ = 1800^\circ$.

هذا هو الحل الشامل للمسألة باستخدام القوانين الهندسية المذكورة أعلاه.