حساب مجموع سلسلة حسابية: تفاصيل وحلول

المسألة الحسابية التي طُلب مني إعادة صياغتها هي مجموع سلسلة حسابية حسب التسلسل التالي: $212 + 222 + 232 + \ldots + 302$. لفهم السياق بشكل أفضل، يتعين علينا أولاً تحليل النمط الحسابي لهذه السلسلة.

يبدو أن هناك زيادة ثابتة في القيم بين كل عنصرين متتاليين. في هذه الحالة، يمكننا تمثيل هذه السلسلة بمسافة $d$ بين العناصر، حيث $d$ يمثل الفارق الثابت بين الأعداد.

لنحسب قيمة $d$، يمكننا أن نستخدم أي اثنين من الأعداد المتتالية. لذا:

$d = 222 – 212 = 10$

الآن، بمعرفة قيمة $d$، يمكننا استخدامها لحساب عدد العناصر في السلسلة. يُعبر عن عدد العناصر بواسطة $n$، ويمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية:

$n = \frac{{\text{{القيمة الأخيرة}} – \text{{القيمة الأولى}}}}{d} + 1$

في هذه الحالة:

$n = \frac{{302 – 212}}{10} + 1 = 10 + 1 = 11$

إذا كان لدينا 11 عنصرًا في هذه السلسلة. الآن يمكننا استخدام صيغة مجموع التسلسل الحسابي لحساب المجموع:

$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$

حيث $a_1$ هو العنصر الأول، و $a_n$ هو العنصر الأخير. في هذه الحالة:

$S_{11} = \frac{11}{2} (212 + 302)$

الآن يمكننا حساب قيمة $S_{11}$ للعثور على المجموع. أدعو الحاسبة للمساعدة في إجراء هذه العملية الحسابية.

بالطبع، دعوني أقدم لك تفاصيل أكثر لحل المسألة وسأشرح القوانين التي تم استخدامها.

المسألة تعتمد على سلسلة حسابية، حيث يتم تحديد العناصر بواسطة قاعدة ثابتة. القاعدة الثابتة هي الفارق بين كل عنصرين متتاليين. لتحديد هذا الفارق، نستخدم الفرق بين أي اثنين من العناصر المتتالية في السلسلة.

$d = 222 – 212 = 10$

الآن، باستخدام هذا الفارق، يمكننا حساب عدد العناصر في السلسلة باستخدام الصيغة:

$n = \frac{{\text{{القيمة الأخيرة}} – \text{{القيمة الأولى}}}}{d} + 1$

$n = \frac{{302 – 212}}{10} + 1 = 10 + 1 = 11$

لذا، لدينا 11 عنصرًا في هذه السلسلة.

القانون المستخدم لحساب مجموع التسلسل الحسابي هو:

$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$

حيث $S_n$ هو مجموع العناصر الأولى $n$، و $a_1$ هو العنصر الأول، و $a_n$ هو العنصر الأخير. في هذه الحالة:

$S_{11} = \frac{11}{2} (212 + 302)$

الآن دعونا نقوم بحساب قيمة $S_{11}$:

$S_{11} = \frac{11}{2} \times 514 = 11 \times 257 = 2827$

إذاً، مجموع السلسلة المعطاة هو 2827. تم استخدام قوانين حسابية أساسية وقاعدية لتحليل السلسلة وحساب مجموعها.