حساب مجموع الأعداد الفردية (مسألة رياضيات)

من خلال دراستنا لمعنى المتوسط الحسابي لعدد فردي من الأعداد الفردية المتتالية، نجد أنه إذا كانت قيمة هذا المتوسط هي “ص”، فإن مجموع العددين الأصغر والأكبر يمكن التعبير عنه بواسطة المعادلة التالية:

$\text{مجموع الأصغر والأكبر} = 2 \times \text{ص}$

لنفهم هذا بشكل أفضل، دعونا نتخيل سلسلة من الأعداد الفردية المتتالية. لنقل أن أول عدد في السلسلة هو $a$، وكل عدد يزيد عن الآخر بمقدار وحدة (فمثلاً، العدد التالي هو $a + 2$ وهكذا). إذاً، يمكننا أن نكتب متوسط هذه السلسلة على النحو التالي:

$\text{ص} = a + (a + 2) + (a + 4) + \ldots$

لدينا الآن متوسط السلسلة، ولكننا نريد معرفة ما إذا كان هناك تعبير يمثل مجموع أول وآخر عددين في هذه السلسلة بدلاً من الكتابة بشكل فردي. لحل هذا، يمكننا استخدام العدد الأول $a$ والفارق بين الأعداد ($2$) لإيجاد العدد الأخير في السلسلة. بمجرد أن نحصل على العدد الأخير، يمكننا إعادة كتابة المعادلة لتمثيل مجموع الأصغر والأكبر.

الحل:

لنفترض أن عدد الأعداد الفردية في السلسلة هو $n$، إذا كانت السلسلة تبدأ من $a$ وتزيد بوحدة، فإن العدد الأخير في السلسلة يمكن تمثيله بواسطة $a + (n-1) \times 2$. الآن، يمكننا كتابة المعادلة التي تعبر عن مجموع الأصغر والأكبر:

$2a + [2a + (n-1) \times 2] = 2 \times \text{ص}$

نحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $a$، ثم نستخدمها لحساب العدد الأخير في السلسلة. بمجرد أن نكون قد حصلنا على هذين العددين، يمكننا إعادة كتابة مجموعهما بشكل موحد.

لكن في هذا السياق، الهدف هو توضيح الخطوات والتفكير الرياضي بدلاً من حساب القيم الرقمية بشكل محدد.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً باستخدام الخطوات الرياضية المناسبة. سنستخدم قوانين الجبر والتلاعب بالأعداد للتوصل إلى الحلا المطلوب.

المسألة:
إذا كان متوسط ​​عدد فردي من الأعداد الفردية المتتالية يساوي $y$، فما هو مجموع أصغر وأكبر عددين في هذه السلسلة بالنسبة لـ $y$؟

الحل:

لنفترض أن العدد الأول في السلسلة هو $a$ والفارق بين الأعداد هو $d$ (لأننا نتعامل مع أعداد فردية). إذاً، العدد الأخير في السلسلة سيكون $a + (n-1) \times d$ حيث $n$ هو عدد الأعداد في السلسلة.

نعلم أن المتوسط الحسابي يُعبَّر عنه بالعلاقة التالية:
$y = \frac{a + (a + (n-1) \times d)}{2}$

نضرب في 2 لتخلص المعادلة من المقام:
$2y = a + (a + (n-1) \times d)$

نجمع المتتاليات ونقوم بتبسيط المعادلة:
$2y = 2a + (n-1) \times d$

نقوم بترتيب المعادلة للعثور على $a + (n-1) \times d$ الذي يمثل مجموع الأصغر والأكبر:
$a + (n-1) \times d = 2y – 2a$

نقوم بتبسيط الجهتين:
$a + (n-1) \times d = 2(y – a)$

الآن، لدينا معادلة تمثل مجموع العددين الأصغر والأكبر في السلسلة بالنسبة للمتوسط $y$. يمكننا استخدام القوانين التالية:

1. قانون جمع الأعداد الناتجة عن تتابع طردي:
   $a + (n-1) \times d$

2. المعادلة الخطية للمتوسط الحسابي:
   $y = \frac{a + (a + (n-1) \times d)}{2}$

3. ترتيب المعادلات:
   $2y = 2a + (n-1) \times d$

4. تبسيط المعادلات:
   $a + (n-1) \times d = 2(y – a)$

5. قانون الجمع والطرح:
   $a + (n-1) \times d = 2(y – a)$

هذه القوانين والخطوات تعبر عن الطريقة التي يمكن بها حل هذا النوع من المسائل الرياضية باستخدام الجبر والمعادلات.