حساب مجموع الأعداد الفردية: النطاق 10-100

من المعروف أن مجموع أول n عدد صحيح موجب يُعطى بالتالي: $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$. الآن، نريد حساب مجموع الأعداد الفردية بين 10 و100.

للعثور على الأعداد الفردية في هذا النطاق، يجب أولاً تحديد هذه الأعداد. نعلم أن أول عدد فردي هو 11، وآخر عدد فردي في هذا النطاق هو 99. يمكننا استخدام تسلسل الأعداد الفردية والتي تكون بزيادة 2، وبذلك نكون قد حصلنا على السلسلة التالية: 11، 13، 15،…، 99.

الآن، لدينا سلسلة من الأعداد الفردية، ونريد حساب مجموعها. يمكننا استخدام الصيغة المعروفة لمجموع أول n عدد فردي، والتي هي: $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$.

في هذه الحالة، يكون n هو عدد الأعداد في السلسلة. يمكننا حساب ذلك بطرح أول عدد فردي من العدد الأخير ثم قسمة الناتج على 2 وإضافة 1. إذا كان العدد الأخير هو 99، فإن عدد الأعداد في السلسلة هو $\frac{99 – 11}{2} + 1$، حيث تمثل القوسين الجزء الذي يتم ضربه في الزيادة بمعامل 2.

الآن، يمكننا حساب القيمة بتعويضها في الصيغة للحصول على الجواب النهائي:

$\frac{(99 – 11) + 1}{2} \cdot \left(\frac{(99 – 11) + 1}{2} + 1\right) \div 2$

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح التفاصيل والقوانين المستخدمة في حل هذه المسألة.

المسألة تتعلق بحساب مجموع الأعداد الفردية بين 10 و100 باستخدام القانون المعروف لمجموع أول n عدد فردي. للقيام بذلك، نحتاج إلى اتباع الخطوات التالية:

1. تحديد الأعداد الفردية: نبدأ بتحديد الأعداد الفردية في النطاق المحدد. في هذه الحالة، نقوم ببداية السلسلة بالعدد الفردي 11 ونزيد بمقدار 2 حتى نصل إلى العدد الفردي الأخير في النطاق، الذي هو 99.

2. حساب عدد الأعداد في السلسلة: نستخدم القاعدة التي تقول إن عدد الأعداد في سلسلة متتالية تزيد بمقدار d بين العددين الأول والأخير هو $\frac{{\text{{العدد الأخير}} – \text{{العدد الأول}}}}{d} + 1$. في هذه الحالة، العدد الأول هو 11، العدد الأخير هو 99، والزيادة بمقدار 2، لذا عدد الأعداد هو $\frac{{99 – 11}}{2} + 1$.

3. استخدام القاعدة لحساب مجموع الأعداد الفردية: نستخدم القاعدة $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$ لحساب مجموع الأعداد الفردية، حيث n هو عدد الأعداد في السلسلة. في هذه الحالة، يكون n هو الناتج من الخطوة السابقة.

4. التعويض والحساب النهائي: نقوم بتعويض قيمة n في القاعدة للحصول على المجموع النهائي. القانون يقول: $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$.

القوانين المستخدمة:

• قانون الأعداد الفردية: $\frac{{\text{{العدد الأخير}} – \text{{العدد الأول}}}}{d} + 1$
• قانون مجموع أول n أعداد فردية: $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

الآن، يمكننا تنفيذ الحسابات اللازمة للوصول إلى الجواب النهائي.