حساب مجموع أرقام عدد معقد (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة باللغة العربية:

نريد حساب قيمة المتغير $X$ في العدد الصحيح $N$ الذي يُمثّله العبارة التالية:
$N = X + 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{321 digits}.$
ثم نريد حساب مجموع أرقام العدد $N$ بعد ذلك.

الحل:
لنرمز إلى مجموع الأعداد المكوّنة للعدد $N$ بـ $S$. يمكن كتابة $S$ على النحو التالي:

$S = 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{321 digits}.$

نرى أن كل عدد في سلسلة الأعداد يكون بعدد أصفار أكثر من السابق، وأيضًا يكون مضافًا بمقدار 9 في كل خطوة. يمكن كتابة الأعداد في السلسلة على النحو التالي:

بوجود هذه الملاحظات، يمكن كتابة $S$ على النحو التالي باستخدام الدمج والتبسيط:

$S = 9 \times (11 + 111 + 1111 + \cdots + \underbrace{111\ldots 111}_\text{321 digits}).$

الآن، لحساب مجموع أرقام العدد $N$، يجب أولاً حساب قيمة $S$ ثم إضافة $X$. سنركز على حساب قيمة $S$ أولاً.

نرى أن المصطلح داخل القوسين هو سلسلة من الأعداد الذين يتكررون، حيث يبدأ العدد الأول بالرقم 1 ويحتوي على 2 أرقام 1، والعدد الثاني يبدأ بالرقم 1 ويحتوي على 3 أرقام 1، وهكذا. يمكن كتابة هذه الأعداد بصورة مختصرة على النحو التالي:

لكل عدد في السلسلة مجموعه 1000…0 + 100…0 + … + 10 + 1. وبالتالي، يمكننا كتابة هذه السلسلة كالتالي:

$11 + 111 + 1111 + \cdots + \underbrace{111\ldots 111}_\text{321 digits} = 1000\ldots 000 \times 9 + (9 + 90 + 900 + \cdots + 900\ldots 000).$

الجزء الأول $1000\ldots 000 \times 9$ هو مجرد تكرارات من العدد 9، متبوعًا بصفر. أما الجزء الثاني $(9 + 90 + 900 + \cdots + 900\ldots 000)$ فهو مجموع أرقام تتكرر مع زيادة الأصفار.

لحساب هذا المجموع، نرى أنه يبدأ بـ 9 ويزيد بمقدار 9 مع زيادة كل صفر. إذاً، الجزء الثاني من $S$ يكون:

$9 + 90 + 900 + \cdots + 900\ldots 000 = 9 \times (1 + 10 + 100 + \cdots + 100\ldots 000).$

لاحظ أن المصطلح داخل القوسين هو سلسلة هندسية متتالية. لحساب مجموع هذه السلسلة، يمكن استخدام الصيغة المعروفة لمجموع العناصر في تلك السلسلة:

$S_n = a \frac{{r^n – 1}}{{r – 1}},$

حيث $a$ هو العنصر الأول، و $r$ هو نسبة التكرار، و $n$ هو عدد العناصر.

في هذه الحالة، $a = 1$، $r = 10$ (لأن النسبة بين العناصر مضاعفة بمقدار 10)، و $n$ هو عدد الأصفار الموجود في العدد $N$، أي $n = 321$.

بع

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$، سنقوم بتطبيق مجموعة من الخطوات الرياضية واستخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الحسابات. هذه القوانين تشمل:

1. مجموع سلسلة الأعداد الطبيعية:
   يتمثل في قانون مجموع الأعداد الطبيعية التي تأخذ تسلسل متتالٍ، والذي يعطى بالصيغة التالية:
   $S_n = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$
   حيث $S_n$ هو مجموع الأعداد، $n$ عدد الأعناصر في السلسلة، $a_1$ هو العنصر الأول، و $a_n$ هو العنصر الأخير.

2. مجموع سلسلة هندسية:
   يتمثل في قانون مجموع السلسلة الهندسية، والذي يعطى بالصيغة التالية:
   $S_n = a \frac{{r^n – 1}}{{r – 1}}$
   حيث $S_n$ هو مجموع الأعداد، $a$ هو العنصر الأول، $r$ هو نسبة التكرار، و $n$ هو عدد العناصر.

باستخدام هذه القوانين، نقوم بالتحليل التالي:

1. نريد حساب قيمة المتغير $X$ في العدد $N$ الذي يتكون من جمع سلسلة من الأعداد.
2. نقوم بحساب قيمة $S$ التي تمثل مجموع الأعداد في السلسلة الخاصة بـ $N$ باستخدام قانون مجموع سلسلة هندسية.
3. نقوم بحساب مجموع أرقام العدد $N$ بعد ذلك.

الخطوات بالتفصيل:

1. حساب قيمة $S$:

   • نقوم بتطبيق قانون مجموع السلسلة الهندسية على السلسلة التي تمثل $S$.
   • نحسب العنصر الأول ونسبة التكرار.
   • نعرف أن عدد الأعناصر في السلسلة هو 321.
   • بعد حساب $S$، نكون قد حصلنا على المجموع الكلي للأعداد في السلسلة.

2. حساب مجموع أرقام العدد $N$:

   • بعد حساب قيمة $S$، نضيف إليه قيمة المتغير $X$.
   • نقوم بتحليل الأعداد المشاركة في الجمع ونجمع أرقامها.
   • نضيف القيمة المستخرجة لـ $S$ إلى قيمة $X$ ونقوم بحساب مجموع أرقام $N$.

3. تحديد قيمة $X$:

   • بعد حساب مجموع أرقام $N$، نقارنه بالقيمة المعطاة (342).
   • إذا كان المجموع الذي حسبناه يطابق القيمة المعطاة، فإن قيمة $X$ التي استخدمناها صحيحة.

بهذه الطريقة، يتم تحديد قيمة المتغير $X$ والتأكد من صحة الإجابة.