حساب لوغاريتم قاعدة 4 للعدد 32 (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير $\log_4 32$.

لنقم أولاً بتحليل العددين المذكورين. العدد 4 هو الأساس في عملية اللوغاريتم، والعدد 32 هو العدد الذي نريد حساب لوغاريتمه بالنسبة للأساس 4.

نلاحظ أن 32 يمكن تعبيره كما يلي: $32 = 4 \times 8$. ونعلم أيضًا أن 8 يمكن تعبيره على أنه $8 = 4 \times 2$.

لذا، نستطيع كتابة العدد 32 على شكل قوى أساس 4 كالتالي:

$32 = 4 \times 8 = 4 \times (4 \times 2) = 4^3 \times 2$

ومن هنا نرى أن $32 = 4^3 \times 2$.

الآن، نستطيع كتابة $\log_4 32$ بالاستفادة من هذه القيمة:

$\log_4 32 = \log_4 (4^3 \times 2)$

وباستخدام قاعدة اللوغاريتم حيث $\log_a (b \times c) = \log_a b + \log_a c$، نستطيع تقسيم اللوغاريتم كما يلي:

$\log_4 32 = \log_4 4^3 + \log_4 2$

ونعلم أن $\log_a a^n = n$، فنستطيع استخدام هذه القاعدة لتبسيط المعادلة:

$\log_4 32 = 3 \log_4 4 + \log_4 2$

ونعلم أن $\log_a a = 1$، فنستبدل $\log_4 4$ بـ1:

$\log_4 32 = 3 \times 1 + \log_4 2 = 3 + \log_4 2$

بهذا الشكل، نحصل على الإجابة النهائية: $\log_4 32 = 3 + \log_4 2$.

لحل مسألة $\log_4 32$، يمكننا الاعتماد على عدة قوانين ومفاهيم في اللوغاريتمات. دعونا نستعرض الخطوات بالتفصيل مع استخدام القوانين:

1. تحليل العدد 32:
   نبدأ بتحليل العدد 32 إلى عوامله الأولية. يمكننا أن نكتب $32 = 2^5$.

2. استخدام قاعدة التحويل:
   نريد حساب $\log_4 32$. لكن قاعدة اللوغاريتم تعطينا العلاقة بين الأساس والناتج، وليس العدد الموجود. إذا كنا نعرف أن 32 تمثل $2^5$، نستخدم قاعدة التحويل للقوى المتساوية: $4^x = 2^5$.

3. استخدام القانون الأساسي:
   من العلاقة أعلاه، نلاحظ أن $4^x = 2^{2x}$، لأن 4 هو مرفوع في القوة تساوي 2.

4. تحويل العلاقة إلى صورة معادلة:
   لدينا الآن معادلة $2^{2x} = 2^5$. وبما أن الأساس متساوي، يمكننا تساوي الأسس.

5. حل المعادلة:
   نعادل الأسس: $2x = 5$. ثم نقوم بحل المعادلة الناتجة للحصول على قيمة x.

6. استخدام القاعدة لحساب اللوغاريتم:
   بمجرد حساب قيمة x، نستخدمها للحصول على قيمة $\log_4 32$.

7. الجمع للحصول على الناتج النهائي:
   بمجرد حساب اللوغاريتم، يمكننا إضافتها إلى الثابت.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حساب قيمة $\log_4 32$. وباستخدام القانون الأساسي للوغاريتمات والتحويل بين الأساسات، نستطيع الوصول إلى الإجابة الصحيحة بدقة وبخطوات مفصلة.