حساب قيمة مصفوفة معمول بها عدة مرات (مسألة رياضيات)

نريد حساب التالي:

إذا كانت الإجابة تساوي:

ما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

لحساب ذلك، نقوم برفع المصفوفة إلى القوة $2018$ باستخدام التعويض الذاتي. لنبدأ:

ثم:

ثم:

وهكذا، نرى أنه عندما نرفع القوة إلى أي عدد زوجي، يكون العنصر في الزاوية اليمنى السفلى دائمًا يساوي $1$.

الآن، نعرف أن:

وهذا يعني أن:

من المعادلة الثانية، نلاحظ أن $X^2 + X = 0$. ومن المعادلة الأولى، نحصل على $X^3 + X^2 = 2018$.

نستخدم العلاقة $X^2 + X = 0$ لنحصل على $X^3 = 2018$. بما أننا نعرف أن $X^3 + X^2 = 2018$، فإننا نستطيع استبدال $X^3$ بـ $X^2$ في المعادلة.

إذاً، لدينا:

وبالتالي:

لكن علينا أن نلاحظ أن الجذر التربيعي يمكن أن يكون إيجابيًا أو سالبًا. لكن من المعطيات، نحن نتوقع أن $X$ يكون ١، لأن العنصر في الزاوية اليسرى العلوية يتغير فقط مرة واحدة بين ٠ و ١.

إذاً، القيمة المتوقعة للمتغير $X$ هي $1$.

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$ في المصفوفة

بعد رفعها إلى القوة $2018$، يمكننا استخدام عدة خطوات وقوانين:

1. تعويض القيم: نستخدم تعويض القيم لتحديد النمط الذي يتبعه المصفوفة عند رفعها إلى القوة.

2. قوانين الأسس والجبر: نستخدم قوانين الجبر للتعامل مع الأسس وعمليات الجمع والضرب.

3. التعويض الذاتي: نستخدم التعويض الذاتي لتحديد نمط العناصر في المصفوفة بعد كل عملية رفع للقوة.

نبدأ بتطبيق هذه القوانين:

1. نرفع المصفوفة إلى القوة $2$ للحصول على النمط:

2. ثم نرفع المصفوفة إلى القوة $3$ للحصول على النمط:

3. ثم نرفع المصفوفة إلى القوة $4$ للحصول على النمط:

نلاحظ أنه عندما نرفع القوة إلى أي عدد زوجي، فإن العنصر في الزاوية اليمنى السفلى دائمًا يساوي $1$.

وبما أن النمط المعطى هو:

نحصل على العلاقات التالية:

من العلاقة الثانية، نعرف أن $X^2 + X = 0$، ومن العلاقة الأولى، نعرف أن $X^3 + X^2 = 2018$.

إذاً، باستخدام العلاقة $X^2 + X = 0$، نحصل على $X^3 = 2018$، وبما أننا نعرف أن $X^3 + X^2 = 2018$، فإننا نستطيع استبدال $X^3$ بـ $X^2$ في المعادلة.

لذا، لدينا:

وبالتالي:

لكن علينا أن نلاحظ أن الجذر التربيعي يمكن أن يكون إيجابيًا أو سالبًا. ولكن من المعطيات، نتوقع أن $X$ يكون ١، لأن العنصر في الزاوية اليسرى العلوية يتغير فقط مرة واحدة بين ٠ و ١.

إذاً، القيمة المتوقعة للمتغير $X$ هي $1$.